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1.討論函數(shù)f(x)=x+(a＞0)的單調(diào)性.　

解　 方法一　 顯然f(x)為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，設(shè)x₁＞x₂＞0,則　

f(x₁)-f(x₂) =(x₁+)-(x₂+)=(x₁-x₂)·(1-).

∴當(dāng)0＜x₂＜x₁≤時，＞1,　

則f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂),故f(x)在(0，］上是減函數(shù).　

當(dāng)x₁＞x₂≥時，0＜＜1，則f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂),　

故f(x)在［，+∞)上是增函數(shù).∵f(x)是奇函數(shù)，　

∴f(x)分別在(-∞，-］、［，+∞)上為增函數(shù)；　

f(x)分別在［-，0)、(0，］上為減函數(shù).　

方法二 　由=1-=0可得x=±

當(dāng)x＞或x＜-時，＞0∴f(x)分別在(，+∞)、(-∞，-］上是增函數(shù).　

同理0＜x＜或-＜x＜0時，＜0　

即f(x)分別在(0，］、［-，0)上是減函數(shù).

5.(2009·成都檢測)已知函數(shù)f(x)=x²-2x+3在閉區(qū)間［0,m］上最大值為3，最小值為2，則m的取值范

圍為　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(　 )

?　 　A.［1，+∞)　　　　　 B.［0，2］?　　　　　 C.(-∞，-2］　　　　　 ?D.［1，2］　

答案?D?　

例1 已知函數(shù)f(x)=a^x+ (a＞1).　

證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).　

證明　 方法一　 任取x₁,x₂∈(-1,+∞),

不妨設(shè)x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0, ＞1且＞0,　

∴，又∵x₁+1＞0,x₂+1＞0,　

∴＞0,　

于是f(x₂)-f(x₁)=+＞0,　

故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).　

方法二 　f(x)=a^x+1-(a＞1),　

求導(dǎo)數(shù)得=a^xlna+,∵a＞1,∴當(dāng)x＞-1時，a^xlna＞0,＞0,　

＞0在(-1，+∞)上恒成立，則f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).　

方法三　 ∵a＞1,∴y=a^x為增函數(shù)，　

又y=，在(-1，+∞)上也是增函數(shù).　

∴y=a^x+在(-1，+∞)上為增函數(shù).

　例2　 判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.　

解 　函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤-1或x≥1},　

則f(x)= ,　

可分解成兩個簡單函數(shù).　

f(x)= =x²-1的形式.當(dāng)x≥1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù).　

∴f(x)=在［1，+∞)上為增函數(shù).當(dāng)x≤-1時，u(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，　

∴f(x)=在(-∞,-1］上為減函數(shù).　

　例3 　求下列函數(shù)的最值與值域：　

(1)y=4-; (2)y=x+;(3)y=.　

解 (1)由3+2x-x²≥0得函數(shù)定義域?yàn)椋?1，3］，又t=3+2x-x²=4-(x-1)².　

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，從而，當(dāng)x=1時，y_min=2，當(dāng)x=-1或x=3時，y_max=4.故值域?yàn)椋?，4］.　

　(2)方法一　 函數(shù)y=x+是定義域?yàn)閧x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故只討論x＞0時,即可知x＜0時的最值.　

∴當(dāng)x＞0時,y=x+≥2=4，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取得.當(dāng)x＜0時，y≤-4,　

等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取得.綜上函數(shù)的值域?yàn)?-∞，-4］∪［4，+∞)，無最值.　

方法二　 任取x₁,x₂,且x₁＜x₂,　

因?yàn)閒(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=　

所以當(dāng)x≤-2或x≥2時，f(x)遞增,當(dāng)-2＜x＜0或0＜x＜2時，f(x)遞減.　

故x=-2時，f(x)_最大值=f(-2)=-4,x=2時，

f(x)_最小值=f(2)=4,　

所以所求函數(shù)的值域?yàn)?-∞，-4］∪［4，+∞)，無最大(小)值.　

(3)將函數(shù)式變形為　

y=,　

可視為動點(diǎn)M(x,0)與定點(diǎn)A(0，1)、B(2，-2)距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點(diǎn)(橫坐標(biāo))即為所求的最小值點(diǎn).　

y_min=|AB|=，可求得x=時，y_min=.　

顯然無最大值.故值域?yàn)椋?sub>，+∞).　

例4 　(12分)函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x＞0時，f(x)＞1.　

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；　

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.　

解　 (1)設(shè)x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,　

則x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＞1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　2分　

f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)　

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　5分

∴f(x₂)＞f(x₁).　

即f(x)是R上的增函數(shù).　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，　

∴f(2)=3，　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

∴原不等式可化為f(3m²-m-2)＜f(2),　

∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m²-m-2＜2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　10分

解得-1＜m＜,故解集為(-1,).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　12分

4.函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+c，其中a、b、c∈R，則a²-3b＜0時，f(x)是　　　　　　　　　　　　　　 　　　(　　 )

A.增函數(shù)　 　　　　　　　?B.減函數(shù)　　　　　　　　　 C.常數(shù)函數(shù)?　　　　 D.單調(diào)性不確定的函數(shù)　

答案?A?　

3.若函數(shù)f(x)=x²+(a²-4a+1)x+2在區(qū)間(-∞，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是　　　　 　　　　　　　(　 　)

A.［-3，-1］　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　?B.(-∞，-3］∪［-1，+∞)　

C.［1，3］　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　?D.(-∞，1］∪［3，+∞)　

答案 ?C?　

2.(2008·保定聯(lián)考)已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，則F(x)是R上的　　　 (　 　)

A.增函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?B.減函數(shù)　

? C.先減后增的函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　 ?D.先增后減的函數(shù)　

答案?B

1.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則f(x)=0的根　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )　　　　　　　　　　　

A.有且只有一個　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　B.有2個　

?C.至多有一個　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　D.以上均不對　

答案?C?　

12.已知函數(shù)f(x)=2^x-1的反函數(shù)為,g(x)=log₄(3x+1)?.　

(1)用定義證明在定義域上的單調(diào)性；　

(2)若≤g(x),求x的取值集合D；　

(3)設(shè)函數(shù)H(x)=g(x)-，當(dāng)x∈D時，求函數(shù)H(x)的值域.　

(1)證明 函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-1，+∞)，　

由y=2^x-1得x=log₂(y+1),　

所以f ^-1(x)=log₂(x+1) (x＞-1).　

任取-1＜x₁＜x₂,　

-=log₂(x₁+1)-log₂(x₂+1)　

=log_2.　

由-1＜x₁＜x₂,得0＜x₁+1＜x₂+1,　

因此0＜＜1,得log₂＜0,　

所以(x₁)＜(x₂),　

故(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.　

(2)解≤g(x),即log₂(x+1)≤log₄(3x+1)　

?

解得0≤x≤1，所以D=［0，1］.　

(3)解 H(x)=g(x)-f ^-1(x)　

=log₄(3x+1)-log₂(x+1)　

=log₂=

由0≤x≤1，得1≤3-≤2,所以0≤log₂≤1，

因此函數(shù)H(x)的值域?yàn)?sub>

§2.3 函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

基礎(chǔ)自測

11.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)＞-2x的解集為(1，3).　

(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；　

(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.　

解 (1)∵f(x)+2x＞0的解集為(1，3)，　

則可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0,因而有　

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

由方程f(x)+6a=0,得ax²-(2+4a)x+9a=0,　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、凇�

因?yàn)榉匠挞谟袃蓚�相等的根，　

∴Δ=［-(2+4a)］²-4a·9a=0，即5a²-4a-1=0,解得a=1或a=-.　

由于a＜0,舍去a=1.將a=-代入①式，得f(x)的解析式為　

f(x)=- x²-x-.　

(2)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a=a,　

及a＜0，可得f(x)的最大值為-由

解得a＜-2-或-2+＜a＜0.故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是　

(-∞,-2-)∪(-2+,0).

10.(2007·北京理，19)如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r.計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上.記CD=2x,梯形面積為S.　

(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；　

(2)求面積S的最大值.　

解(1)依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系O-xy(如圖)，

則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程

(y≥0),　

解得y=2(0＜x＜r).S=(2x+2r)·2　

=2(x+r)·,其定義域?yàn)閧x|0＜x＜r}.　

(2)記f(x)=4(x+r)²(r²-x²),0＜x＜r,則=8(x+r)²(r-2x).　

令=0,得x=r.因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時，＞0;　

當(dāng)＜x＜r時, ＜0，所以f(r)是f(x)的最大值.　

因此，當(dāng)x=r時，S也取得最大值，最大值為.　

即梯形面積S的最大值為

9.(1)求函數(shù)f(x)=的定義域；　

(2)已知函數(shù)f(2^x)的定義域是［-1，1］，求f(log₂x)的定義域.　

解 　(1)要使函數(shù)有意義，則只需要：　

解得-3＜x＜0或2＜x＜3.　

故函數(shù)的定義域是(-3,0)∪(2,3).

(2)∵y=f(2^x)的定義域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2^x≤2.　

∴函數(shù)y=f(log₂x)中≤log₂x≤2.即log₂≤log₂x≤log₂4,∴≤x≤4.　

故函數(shù)f(log₂x)的定義域?yàn)椋?sub>，4］