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6.某商店計劃投入資金20萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，已知經(jīng)銷甲商品與乙商品所獲得的利潤分別為P(萬元)和Q(萬元)，且它們與投入資金x(萬元)的關系是：P=，Q=(a＞0).若不管資金如何投放，經(jīng)銷這兩種商品或其中一種商品所獲得的純利潤總和不少于5萬元，則a的最小值應為 　(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

?A.?　　　　　 　　　　　　B.5　　　　　 　　　　　　　C.±?　　　　　　　 D.-

答案 　A?　

5.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)檢測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的關系用如圖所示曲線表示.據(jù)進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時，治療疾病有效，則服藥一次治療該疾病有效的時間(小時)為　　　　 　　　　　(　 )　

?A.4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　B.4

?C.4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.5　

答案?C?　

4.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y=3 000+20x-0.1x²,x∈(0,240),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量為　　 　　　　(　 )　

?A.100臺　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　B.120臺

?C.150臺　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.180臺　

答案?C?　

3.某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系如圖所示，下列四種說法：　

①前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越快；　

②前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越慢；　

③第三年中，產(chǎn)品停止生產(chǎn)；　

④第三年中，這種產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變.　

其中說法正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(　 )　

?A.②與③　　　 　　　　　?B.②與④　　　　　　　　　　 C.①與③?　　　　　　 　D.①與④

答案?A?　

2.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，

開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)

備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(　　 )　

?A.x=15,y=12?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 B.x=12,y=15　

?C.x=14,y=10?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 D.x=10,y=14　

答案?A?　

1.某機床在生產(chǎn)中所需墊片可以外購，也可自己生產(chǎn)，其中外購的單價是每個1.10元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本800元，并且每生產(chǎn)一個墊片還需材料費和勞務費共0.60元.設該廠每月所需墊片x個，則自己生產(chǎn)墊片比外購墊片較合算的條件是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )

?A.x＞1 800　　　　　　 　　　B.x＞1 600　　　　　　　　 C.x＞500　　　　　 　　D.x＞1 400　 答案?B?　

3.某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件.為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模型來模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關系.模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)f(x)或函數(shù)g(x)=ab^x+c(其中a、b、c為常數(shù)).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件.請問用以上哪個函數(shù)作為函數(shù)模型較好?并說明理由.　

解　 設f(x)=px²+qx+r(p≠0)，則有　

解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7.　

∴f(4)=-0.05×4²+0.35×4+0.7=1.3.　

又

解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.　

∴g(4)=-0.8×0.5⁴+1.4=1.35.　

經(jīng)比較可知，用g(x)=-0.8×(0.5)^x+1.4作為模擬函數(shù)較好.

2.某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺，

需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，

銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x-(萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺).　

(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；　

(2)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？　

(3)年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？　

解 (1)當x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺；　

當x＞5時，只能售出5百臺，　

故利潤函數(shù)為L(x)=R(x)-C(x)　

=

　 (2)當0≤x≤5時，L(x)=4.75x--0.5，　

當x=4.75時，L(x)_max=10.781 25萬元.　

當x＞5時，L(x)=12-0.25x為減函數(shù)，　

此時L(x)＜10.75(萬元).∴生產(chǎn)475臺時利潤最大.　

(3)由

得x≥4.75-=0.1(百臺)或x＜48(百臺).　

∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4 800臺時，工廠不虧本.　

1.某商人將進貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大值.　

解　 設每個提價為x元(x≥0)，利潤為y元，每天銷售總額為(10+x)(100-10x)元，

進貨總額為8(100-10x)元，　

顯然100-10x＞0,即x＜10,　

則y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)²+360 (0≤x＜10).　

當x=4時，y取得最大值，此時銷售單價應為14元，最大利潤為360元.　

4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元.又知總收入K是

單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)=40Q-Q²，則總利潤L(Q)的最大值是　　　 萬元.　

答案　 2 500　

例1 　如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b＜a),在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.　

解 　設四邊形EFGH的面積為S，　

則S_△AEH=S_△CFG=x²,

S_△BEF=S_△DGH=(a-x)(b-x)，　

∴S=ab-2［²+(a-x)(b-x)］　

=-2x²+(a+b)x=-2(x-²+　

由圖形知函數(shù)的定義域為{x|0＜x≤b}.　

又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b時，　

則當x=時，S有最大值;　

若＞b,即a＞3b時，　

S(x)在(0,b］上是增函數(shù)，　

此時當x=b時，S有最大值為　

-2(b-)²+=ab-b²,　

綜上可知，當a≤3b時，x=時，　

四邊形面積S_max=,　

當a＞3b時，x=b時，四邊形面積S_max=ab-b².　

例2　 據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度

v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t，0)作橫軸

的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).　

(1)當t=4時，求s的值；　

(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；　

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由.　

解 (1)由圖象可知：

當t=4時，v=3×4=12,　

∴s=×4×12=24.　

(2)當0≤t≤10時，s=·t·3t=t²，　

當10＜t≤20時，s=×10×30+30(t-10)=30t-150；　

當20＜t≤35時，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t²+70t-550.　

綜上可知s=

(3)∵t∈［0，10］時，s_max=×10²=150＜650.　

t∈(10，20］時，s_max=30×20-150=450＜650.　

∴當t∈(20，35］時，令-t²+70t-550=650.　

解得t₁=30,t₂=40,∵20＜t≤35,　

∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城.　

例3　 (12分)1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前.　

(1)世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？　

(2)我國人口在1998年底達到12.48億，若將人口平均增長率控制在1%以內(nèi)，我國人口在2008年底至多有多少億？　

以下數(shù)據(jù)供計算時使用：

解 (1)設每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，　

則y·(1+x)ⁿ=60，則當n=40時，y=30，　

即30(1+x)⁴⁰=60，∴(1+x)⁴⁰=2，　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

兩邊取對數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，　

則lg(1+x)==0.007 525，　

∴1+x≈1.017，得x=1.7%.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

(2)依題意，y≤12.48(1+1%)¹⁰?，　

得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,　

∴y≤13.78，故人口至多有13.78億.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　11分　

答 　每年人口平均增長率為1.7%，2008年人口至多有13.78億.　　　　　　　　　　　　 　　12分