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例1、在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分別為棱BC、CC₁、C₁D₁、AA₁的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)(如圖)，求證：(1)EG∥平面BB₁D₁D；(2)平面BDF∥平面B₁D₁H；(3)A₁O⊥平面BDF；(4)平面BDF⊥平面AA₁C。

解析：

　 (1)欲證EG∥平面BB₁D₁D，須在平面BB₁D₁D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構(gòu)造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’，顯然BO’即是。

　 (2)按線線平行線面平行面面平行的思路，在平面B₁D₁H內(nèi)尋找B₁D₁和O’H兩條關(guān)鍵的相交直線，轉(zhuǎn)化為證明：B₁D₁∥平面BDF，O’H∥平面BDF。

(3)為證A₁O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A₁O，再尋A₁O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線。

猜想A₁O⊥OF。借助于正方體棱長(zhǎng)及有關(guān)線段的關(guān)系計(jì)算得：A₁O²+OF²=A₁F²A₁O⊥OF。

　 (4)∵ CC₁⊥平面AC

∴ CC₁⊥BD

又BD⊥AC

∴ BD⊥平面AA₁C

又BD平面BDF

∴ 平面BDF⊥平面AA₁C

例2、在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A₁B₁上任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角是

A、　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　 D、

解析：

取P點(diǎn)的特殊點(diǎn)A₁，連OA₁，在底面上過O作OE⊥AD于E，連A₁E

∵ OE⊥平面ADD₁A₁，AM⊥A₁E

根據(jù)三垂線定理，得：AM⊥OA₁

∴ 選D

評(píng)注：化“動(dòng)”為“定”是處理“動(dòng)”的思路

例3、如圖，三棱錐D-ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，∠ABC=

∠BAD=90⁰，其腰BC=a，且二面角D-AB-C=60⁰。

(1)求異面直線DA與BC所成的角；

(2)求異面直線BD與AC所成的角；

(3)求D到BC的距離；

(4)求異面直線BD與AC的距離。

解析：

(1)在平面ABC內(nèi)作AE∥BC，從而得∠DAE=60⁰

　∴ DA與BC成60⁰角

(2)過B作BF∥AC，交EA延長(zhǎng)線于F，則∠DBF為BD與AC所成的角

　由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=120⁰

　∴ DF²=a²+a²-2a²·()=3a²

　∴ DF=a

△DBF中，BF=AC=a

∴ cos∠DBF=

∴ 異面直線BD與AC成角arccos

　 (3)∵ BA⊥平面ADE

∴ 平面DAE⊥平面ABC

故取AE中點(diǎn)M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點(diǎn)N，由MN⊥BC，根據(jù)三垂線定理，DN⊥BC

∴ DN是D到BC的距離

在△DMN中，DM=a，MN=a

∴ DN=a

　 (4)∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF

∴ AC∥平面BDF

又BD平面BDF

∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離

∵ ，

∴

由­­，即異面直線BD與AC的距離為

評(píng)注：三棱錐的等體積變換求高，也是求點(diǎn)到面距離的常用方法。

例4、如圖，在60⁰的二面角α-CD-β中，ACα，BDβ，且ACD=45⁰，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，當(dāng)x為何值時(shí)，A、B的距離最�。坎⑶蟠司嚯x。

解析：

作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，則EF為異面直線AE、BF的公垂段，AE與BF成60⁰角，可求得|AB|=，當(dāng)x=時(shí)，|AB|有最小值。

評(píng)注：轉(zhuǎn)化為求異面直線上兩點(diǎn)間距離的最小值。

例5、如圖，斜三棱柱ABC-A’B’C’中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為 b，側(cè)棱AA’與底面相鄰兩邊AB、AC都成45⁰角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積。

解析：

在側(cè)面AB’內(nèi)作BD⊥AA’于D

連結(jié)CD

∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=45⁰

∴ △DAB≌△DAC

∴ ∠CDA=∠BDA=90⁰，BD=CD

∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’

∴ △DBC是斜三棱柱的直截面

在Rt△ADB中，BD=AB·sin45⁰=

∴ △DBC的周長(zhǎng)=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面積=

∴ S_側(cè)=b(BD+DC+BC)=(+1)ab

∴ V=·AA’=

評(píng)注：求斜棱柱的側(cè)面積有兩種方法，一是判斷各側(cè)面的形狀，求各側(cè)面的面積之和，二是求直截面的周長(zhǎng)與側(cè)棱的乘積，求體積時(shí)同樣可以利用直截面，即V=直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)。

例6、在三棱錐P-ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱錐的體積V_P-ABC。

解析：

取PC和AB的中點(diǎn)M和N

∴

在△AMB中，AM²=BM²=17²-8²=25×9

∴ AM=BM=15cm，MN²=15²-9²=24×6

∴ S_△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm²)

∴ V_P-ABC=×16×108=576(cm³)

評(píng)注：把一個(gè)幾何體分割成若干個(gè)三棱錐的方法是一種用得較多的分割方法，這樣分割的結(jié)果，一方面便于求體積，另一方面便于利用體積的相關(guān)性質(zhì)，如等底等高的錐體的體積相等，等底的兩個(gè)錐體的體積的比等于相應(yīng)高的比，等等。

同步練習(xí)

6、立體幾何的學(xué)習(xí)，主要把握對(duì)圖形的識(shí)別及變換(分割，補(bǔ)形，旋轉(zhuǎn)等)，因此，既要熟記基本圖形中元素的位置關(guān)系和度量關(guān)系，也要能在復(fù)雜背景圖形中“剝出”基本圖形。

5、球是由曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體。研究球，主要抓球心和半徑。

4、棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要運(yùn)用側(cè)面與底面垂直的性質(zhì)解題，在正棱錐中，要熟記由高PO，斜高PM，側(cè)棱PA，底面外接圓半徑OA，底面內(nèi)切圓半徑OM，底面正多邊形半邊長(zhǎng)OM，構(gòu)成的三棱錐，該三棱錐四個(gè)面均為直角三角形。

3、兩個(gè)重要計(jì)算公式

(1)cosθ=cosθ₁·cosθ₂

其中θ₁為斜線PA與平面α所成角，即為∠PAO，θ₂為PA射影AO與α內(nèi)直線AB所成的角，θ為∠PAB。

顯然，θ>θ₁，θ>θ₂

(2)異面直線上兩點(diǎn)間距離公式

　設(shè)異面直線a，b所成角為θ

　則EF²=m²+n²+d²±2mncosθ

2、空間元素位置關(guān)系的度量

　 (1)角：異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平面幾何中兩條相交直線所成的角。

異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補(bǔ)形法等。

直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。

二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱的垂面法及面積射影法。

　 (2)距離：異面直線的距離，點(diǎn)面距離，線面距離及面面距離。

異面直線的距離：除求公垂線段長(zhǎng)度外，通常化歸為線面距離和面面距離。

線面距離，面面距離�；瘹w為點(diǎn)面距離。

1、空間基本元素：直線與平面之間位置關(guān)系的小結(jié)。如下圖：

條件 　結(jié)論	線線平行	線面平行	面面平行	垂直關(guān)系
線線平行	如果a∥b，b∥c，那么a∥c	如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b	如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b	如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
線面平行	如果a∥b，aα，bα，那么a∥α	--	如果α∥β，aα，那么α∥β	--
面面平行	如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β	如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β	如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ	如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β

條件 　結(jié)論	線線垂直	線面垂直	面面垂直	平行關(guān)系
線線垂直	二垂線定理及逆定理	如果a⊥α，bα，那么a⊥b	如果三個(gè)平面兩兩垂直，那么它們交線兩兩垂直	如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
線面垂直	如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α	--	如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β	如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α
面面垂直	定義(二面角等于900)	如果a⊥α，aβ，那么β⊥α	--	--

空間幾何圖形的證明及計(jì)算。

(三)解答題

16、已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。

17、已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁>0，公比q>-1(q≠1)，設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=a_n+1+a_n+2(n∈N₊)，數(shù)列{a_n},{b_n}的前n項(xiàng)和分別記為A_n，B_n，試比較A_n與B_n大小。

18、數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n(n∈N₊)

(1)求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；

(3)設(shè)(n∈N₊)T_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N₊，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

(二)填空題

11、已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)，則它的前n項(xiàng)和S_n=______。

12、設(shè)等差數(shù)列{a_n}共有3n項(xiàng)，它的前2n項(xiàng)之和為100，后2n項(xiàng)之和為200，則該等差數(shù)列的中間n項(xiàng)的和等于________。

13、設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}(b_n>0)，n∈N₊滿足(n∈N₊)，則{a_n}為等差數(shù)列是{b_n}為等比數(shù)列的________條件。

14、長(zhǎng)方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm³，則全面積的最小值是______cm²。

15、若不等于1的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則(2-log_ba)(1+log_ca)=________。