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5.函數f(x),g(x)在區(qū)間［-a，a］ (a＞0)上都是奇函數，則下列結論：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函數；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函數；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函數；④f(0)+g(0)=0,其中正確的個數是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

?A.1　　　　　　　　　 ?B.2　　　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　　 ?D.4　

答案?D?　

例1　 判斷下列函數的奇偶性.　

(1)f(x)=;　

(2)f(x)=log₂(x+) (x∈R);　

(3)f(x)=lg|x-2|.　

解 (1)∵x²-1≥0且1-x²≥0,∴x=±1,即f(x)的定義域是{-1，1}.　

∵f(1)=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),　

故f(x)既是奇函數又是偶函數.　

(2)方法一　 易知f(x)的定義域為R，　

又∵f(-x)=log₂［-x+］=log₂=-log₂(x+)=-f(x),　

∴f(x)是奇函數.　

方法二　 易知f(x)的定義域為R，　

又∵f(-x)+f(x)=log₂［-x+］+log₂(x+)=log₂1=0,即f(-x)=-f(x),　

∴f(x)為奇函數.　

(3)由|x-2|＞0，得x≠2.　

∴f(x)的定義域{x|x≠2}關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數.　

例2　 已知函數f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).　

(1)求證：f(x)是奇函數；　

(2)如果x∈R⁺，f(x)＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.　

(1)證明 　∵函數定義域為R，其定義域關于原點對稱.　

∵f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,　

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0，得f(-x)=-f(x),　

∴f(x)為奇函數.　

(2)解　 方法一　 設x,y∈R⁺，∵f(x+y)=f(x)+f(y)，　

∴f(x+y)-f(x)=f(y).　∵x∈R⁺，f(x)＜0,　

∴f(x+y)-f(x)＜0,　∴f(x+y)＜f(x).　

∵x+y＞x,　∴f(x)在(0，+∞)上是減函數.又∵f(x)為奇函數，f(0)=0，　

∴f(x)在(-∞,+∞)上是減函數.∴f(-2)為最大值，f(6)為最小值.　

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f(1)+f(2)］=-3.　

∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.　

方法二　 設x₁＜x₂,且x₁,x₂∈R.　

則f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).　

∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)-f(x₁)＜0.即f(x)在R上單調遞減.　

∴f(-2)為最大值，f(6)為最小值.∵f(1)=-，　

∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2［f(1)+f(2)］=-3.　

∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.　

例3 (12分)已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)?.　

(1)求證：f(x)是周期函數；　

(2)若f(x)為奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的個數.　

(1)證明 ∵f(x+2)=-f(x)，　

∴f(x+4)=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　2分　

∴f(x)是以4為周期的周期函數.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　3分　

(2)解　 當0≤x≤1時，f(x)=x,　

設-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.　

∵f(x)是奇函數，∴f(-x)=-f(x),　

∴-f(x)=-x，即f(x)= x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　5分　

故f(x)= x(-1≤x≤1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　6分　

又設1＜x＜3,則-1＜x-2＜1,　

∴f(x-2)=(x-2),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　7分

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-［-f(-x)］=-f(x)，　

∴-f(x)=(x-2)，　

∴f(x)=-(x-2)(1＜x＜3).　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

∴f(x)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　9分　

由f(x)=-,解得x=-1.　

∵f(x)是以4為周期的周期函數.　

故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分　

令0≤4n-1≤2 009,則≤n≤,　

又∵n∈Z，∴1≤n≤502 (n∈Z),　

∴在［0，2 009］上共有502個x使f(x)=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　12分

4.已知f(x)=是奇函數，則實數a的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　 )　

?A.1　　　　　　　　　 B.-1　 　　　　　　　　　C.0　　　　　　　　 ?D.±1　

答案?A?　

3.(2009·新鄭二中模擬)設偶函數f(x)=log_a|x-b|在(-∞,0)上單調遞增，則f(a+1)與f(b+2)的大小關系為 (　 )　A.f(a+1)≥f(b+2)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(a+1)≤f(b+2)　

C.f(a+1)＜f(b+2)?　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(a+1)＞f(b+2)　

答案?D?　

2.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(　 )

?A.-1　　　　　 　　　　B.0　　　　　　　　　 C.1?　　　　　　　　 D.2　

答案?B?　

1.(2008· 福建理，4)函數f(x)=x³+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2，則f(-a)的值為　　 　　　　　　　　　(　 )

?　 A.3　　　　　　　 ?B.0　　　　　　　　　 C.-1　　　　　　　　 D.-2　

答案?B?　

12.已知函數y=f(x)對任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x＞0時，f(x)＜0,f(1)=-.　

(1)判斷并證明f(x)在R上的單調性；　

(2)求f(x)在［-3，3］上的最值.　

解 (1)f(x)在R上是單調遞減函數　

證明如下：　

令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0,　

∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁).又∵x＞0時，f(x)＜0,　

∴f(x₂-x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁).由定義可知f(x)在R上為單調遞減函數.　

(2)∵f(x)在R上是減函數，∴f(x)在［-3，3］上也是減函數.　

∴f(-3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-=-2.　

∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值為2，最小值為-2.

§2.4　 函數的奇偶性

　基礎自測

11.(2008·青島調研)已知f(x)=(x≠a).　

(1)若a=-2,試證f(x)在(-∞,-2)內單調遞增；　

(2)若a＞0且f(x)在(1,+∞)內單調遞減，求a的取值范圍.　

(1)證明 　任設x₁＜x₂＜-2,則f(x₁)-f(x₂)=　

∵(x₁+2)(x₂+2)＞0,x₁-x₂＜0,∴f(x₁)＜f(x₂),∴f(x)在(-∞,-2)內單調遞增.　

(2)解 　任設1＜x₁＜x₂,則f(x₁)-f(x₂)=　

∵a＞0,x₂-x₁＞0,∴要使f(x₁)-f(x₂)＞0,只需(x₁-a)(x₂-a)＞0恒成立，∴a≤1.綜上所述知0＜a≤1.

10.函數f(x)對任意的實數m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當x＞0時有f(x)＞0.　

(1)求證：f(x)在(-∞,+∞)上為增函數；　

(2)若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.　

(1)證明 　設x₂＞x₁,則x₂-x₁＞0.　

∵f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0,

∴f(x₂)＞f(x₁),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數.　

(2)解　 ∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 　

又f［log₂(x²-x-2)］＜2,∴f［log₂(x²-x-2)］＜f(2).　∴l(xiāng)og₂(x²-x-2)＜2,于是∴

即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集為{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.

9.已知f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數，且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

解 　根據題意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.　

又f(x)+f(x-8)=f［x(x-8)］,故f［x(x-8)］≤f(9).　

∵f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數，∴解得8＜x≤9.

8.已知下列四個命題：①若f(x)為減函數，則-f(x)為增函數；②若f(x)為增函數，則函數g(x)=在其定義域內為減函數；③若f(x)與g(x)均為(a,b)上的增函數，則f(x)·g(x)也是區(qū)間(a,b)上的增函數；④若f(x)與g(x)在(a,b)上分別是遞增與遞減函數，且g(x)≠0，則在(a,b)上是遞增函數.其中正確命題的序號是　　　　 .　

答案　 ①