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5.已知集合M={-1,1},N={x|＜2^x+1＜4,x∈Z },則M∩N等于　　　　　　　　　 　　　　( 　　)

?A.{-1,1}　　　　 　　?B.{-1} ?　　　　　 C.{0}　　　　　　　　 D.{-1,0}　

答案?B?　

例1已知a=,b=9.求：

(1)

(2).

解　 (1)原式=.÷［a·］　

= =a.　

∵a=，∴原式=3.　

(2)方法一　 化去負(fù)指數(shù)后解.　

　∵a=∴a+b=

方法二　 利用運(yùn)算性質(zhì)解.　

∵a=∴a+b=

　 　　例2　 函數(shù)f(x)=x²-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(b^x)與f(c^x)的大小關(guān)系是　　　　 　　　　　　(　 )

A.f(b^x)≤f(c^x)?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(b^x)≥f(c^x)

C.f(b^x)＞f(c^x)　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　D.大小關(guān)系隨x的不同而不同

答案?A

例3　 求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：　

(1)f(x)=3;　

(2)g(x)=-(.

解 (1)依題意x²-5x+4≥0,　

解得x≥4或x≤1,　

∴f(x)的定義域是(-∞，1］∪［4，+∞).　

令u=∵x∈(-∞，1］∪［4，+∞)，　

∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥3⁰=1,　

∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞).　

∵u=,∴當(dāng)x∈(-∞，1］時(shí)，u是減函數(shù)，　

當(dāng)x∈［4，+∞)時(shí)，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，　

f(x)=3在(-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞)上是增函數(shù).　

故f(x)的增區(qū)間是［4，+∞)，減區(qū)間是(-∞，1］.　

(2)由g(x)=-(　

∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，令t=(^x (t＞0),∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,　

∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,等號(hào)成立的條件是t=2,　

即g(x)≤9,等號(hào)成立的條件是(=2，即x=-1，∴g(x)的值域是(-∞，9］.　

由g(t)=-(t-2)²+9 (t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實(shí)際上是求g(t)的減區(qū)間，　

求g(x)的減區(qū)間實(shí)際上是求g(t)的增區(qū)間.　

∵g(t)在(0，2］上遞增，在［2，+∞)上遞減，　

由0＜t=(≤2,可得x≥-1,　由t=(≥2,可得x≤-1.　

∴g(x)在［-1，+∞)上遞減，在(-∞，-1］上遞增，　

故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞).　

例4 (12分)設(shè)a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù).　

(1)求a的值；　

(2)求證：f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).　

(1)解　 ∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(-x)=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　1分　∴

∴(a-=0對(duì)一切x均成立，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 3分　

∴a-=0，而a＞0,∴a=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　4分

(2)證明　 在(0，+∞)上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　5分　

則f(x₁)-f(x₂)= +--

= (　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

∵x₁＜x₂,∴有?　

∵x₁＞0,x₂＞0,∴x₁+x₂＞0,∴＞1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　10分

-1＜0.∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),

故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　12分　

4.關(guān)于函數(shù)f(x)=2^x-2^-x(x∈R)，有下列三個(gè)結(jié)論：　

①f(x)的值域?yàn)镽；　

②f(x)是R上的增函數(shù)；　

③對(duì)任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.　

其中全部正確的結(jié)論是　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 　)

?A.①②③　　　　 ?　　　　　 B.①③　　　　　　　　　　　 C.①②　　　　 　　　　　　D.②③　

答案?A?　

3.函數(shù)f(x)=a^x-b的圖象如圖所示，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是　　　　　　　　　　　　　　 　　　(　 　)?A.a＞1,b＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a＞1,b＜0　

?C.0＜a＜1,b＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.0＜a＜1,b＜0　

答案?D?　

2.設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x(a＞0且a≠1)，則下列等式不正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　 　)

? A.f(x+y)=f(x)·f(y)　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　B.f((xy)ⁿ)=f ⁿ(x)·f ⁿ(y)　

?C.f(x-y)=　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D.f(nx)=f ⁿ(x)　

答案?B?　

1.已知a＜，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(　 　)

A.　　　　 　　　　B.-?　　 　　 　　　　C.　　　 　　　?D.-　

答案?C?　

12.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+x+1=0(a＞0)有兩個(gè)實(shí)根x₁,x₂.　

(1)求(1+x₁)(1+x₂)的值；　

(2)求證：x₁＜-1且x₂＜-1;　

(3)若,試求a的最大值.　

(1)解　 ∵x₁、x₂為方程ax²+x+1=0的兩個(gè)實(shí)根,∴x₁+x₂=-，x₁x₂=　

∴(1+x₁)(1+x₂)=1+(x₁+x₂)+x₁x₂=1-+=1.　

(2)證明　 令f(x)=ax²+x+1,Δ=1-4a≥0得0＜2a≤,　

∴拋物線對(duì)稱軸x=≤-2＜-1.又f(-1)=a＞0.　

∴f(x)圖象與x軸交點(diǎn)均在(-1，0)的左側(cè)，∴x₁＜-1且x₂＜-1.　

(3)解　 由(1)得x₁=,　∴

∴-,∴a=

∴-，即x₂=-2時(shí)，a的最大值為.

§2.6　 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)自測(cè)

11.f(x)=-x²+ax+-在區(qū)間［0，1］上的最大值為2，求a的值.　

解　 f(x)=-

①當(dāng)∈［0，1］，即0≤a≤2時(shí)，　

f(x)_max==2,則a=3或a=-2，不合題意.　

②當(dāng)＞1，即a＞2時(shí)，f(x)_max=f(1)=2a=.　

③當(dāng)＜0，即a＜0時(shí)，f(x)_max=f(0)=2a=-6,

∴f(x)在區(qū)間［0，1］上的最大值為2時(shí)，a=或a=-6.

10.已知f(x)=x²+ax+3-a，若x∈［-2，2］時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.　

解　 令f(x)的最小值為g(a)，則　

(1)當(dāng)-＜-2,即a＞4時(shí)，g(a)=f(-2)=7-3a≥0，得a≤，又a＞4，故此時(shí)a不存在；　

(2)當(dāng)-∈［-2，2］，即-4≤a≤4時(shí)，g(a)=3-a-≥0，得-6≤a≤2，又-4≤a≤4，故-4≤a≤2；　

(3)當(dāng)-＞2，即a＜-4時(shí)，g(a)=f(2)=7+a≥0，得a≥-7，又a＜-4，故-7≤a＜-4.綜上，得-7≤a≤2.

9.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式.　

解　 方法一　 利用二次函數(shù)一般式.設(shè)f(x)=ax²+bx+c (a≠0),　

由題意得解之得∴所求二次函數(shù)為y=-4x²+4x+7.　

方法二　 利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式.　

設(shè)f(x)=a(x-m)²+n，∵f(2)=f(-1)，∴拋物線對(duì)稱軸為x=即m=.　

又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n=8,∴y=f(x)=a(x-)²+8.∵f(2)=-1，∴a(2-)²+8=-1.　

解之，得a=-4,∴y=f(x)=-4(x-)²+8=-4x²+4x+7.　

方法三　 由f(x)+1=0的兩根為x₁=2,x₂=-1,故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax²-ax-2a-1.　

又由函數(shù)有最大值y_max=8,∴.解之，得a=-4.∴所求函數(shù)解析式為　

f (x)=a2+8=-4x²²²²²2+4x+7.

8.設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x²+ax-a-1),給出下述命題：　

①f(x)有最小值；　

②當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽；　

③當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在區(qū)間［2，+∞)上有反函數(shù)；　

④若f(x)在區(qū)間［2，+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-4.　

則其中正確的命題的序號(hào)是　　　　 .　

答案　 ②③