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4.(2009·新鄭調(diào)研)若f(x)=log_ax在［2，+∞)上恒有f(x)＞1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　 　(　 )　

A.()?　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B.(0,)∪(1，2)

?C.(1，2)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　D. (0,)∪(2，+∞)　

答案?C?　

3.已知log₇［log₃(log₂x)］=0，那么x等于　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(　 )　

　A.　　　　　 　　　　?B.　　　　　 　　　　 　C.?　　　　 　　　　　D.

答案?C?　

2.已知3^a=5^b=A,且=2，則A的值是　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A.15　　　　　　　 　　　　B. 　　　　　　　　　C.±　　 　　 　　　D.225　

答案?B?　

1.(2008·全國(guó)Ⅱ理，4)若x∈(e^-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln³x,則　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )

A.a＜b＜c　　　　　　　　 B.c＜a＜b　　　　　　　 C.b＜a＜c　　　　　　　 D.b＜c＜a　

答案?C?　

12.已知f(x)=.　

(1)判斷函數(shù)奇偶性；　

(2)證明：f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù)；　

(3)求f(x)的值域.　

(1)解　 ∵f(x)的定義域?yàn)镽，　

且f(-x)==-f(x)，　

∴f(x)是奇函數(shù).　

(2)證明　 方法一　 f(x)=.　

令x₂＞x₁，則f(x₂)-f(x₁)　

=(1-

當(dāng)x₂＞x₁時(shí)，10-10＞0.　又∵10+1＞0,10+1＞0，　

故當(dāng)x₂＞x₁時(shí)，f(x₂)-f(x₁)＞0，　即f(x₂)＞f(x₁).所以f(x)是增函數(shù).　

方法二　 考慮復(fù)合函數(shù)的增減性.　

由f(x)=∵y₁=10^x為增函數(shù)，　

∴y₂=10^2x+1為增函數(shù)，y₃=為減函數(shù)，　

y₄=-為增函數(shù)，　

f(x)=1-為增函數(shù).　

∴f(x)=在定義域內(nèi)是增函數(shù).　

(3)解　 方法一　 令y=f(x)，由y=解得10^2x=.　

∵10^2x＞0，∴-1＜y＜1.　

即f(x)的值域?yàn)?-1，1).　

方法二　 ∵f(x)=1-,∵10^2x＞0,∴10^2x+1＞1.　

∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,即值域?yàn)?-1,1).

§2.7　 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)自測(cè)

11.已知函數(shù)f(x)=(a^x-a^-x) (a＞0，且a≠1).　

(1)判斷f(x)的單調(diào)性；　

(2)驗(yàn)證性質(zhì)f(-x)=-f(x),當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，并應(yīng)用該性質(zhì)求滿足f(1-m)+f(1-m²)＜0的實(shí)數(shù)m的范圍.　

解 (1)設(shè)x₁＜x₂,x₁-x₂＜0,1+＞0.　

若a＞1,則,＞0,　

所以f(x₁)-f(x₂)=＜0，　

即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù)；　

同理，若0＜a＜1，則,＜0,　

f(x₁)-f(x₂)=(1+)＜0,　

即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).　

綜上，f(x)在R上為增函數(shù).　

(2)f(x)=則f(-x)=,　

顯然f(-x)=-f(x).　f(1-m)+f(1-m²)＜0,　

即f(1-m)＜-f(1-m²)f(1-m)＜f(m²-1),　

函數(shù)為增函數(shù)，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m²-1＜1,可得1＜m＜.

10.已知函數(shù)f(x)=(　

(1)求f(x)的定義域；　

(2)討論f(x)的奇偶性；　

(3)證明：f(x)＞0.　

(1)解　 由2^x-1≠0x≠0,∴定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).　

(2)解　 f(x)=(

可化為f(x)=　

則f(-x)=

∴f(x)=(x³是偶函數(shù).　

(3)證明　 當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞1,x³＞0.　

∴(x³＞0.　

∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=f(-x)＞0.　

綜上可得f(x)＞0.

9.要使函數(shù)y=1+2^x+4^xa在x∈(-，1］上y＞0恒成立，求a的取值范圍.　

解　 由題意得1+2^x+4^xa＞0在x∈(-,1］上恒成立，即a＞-在x∈(-∞，1］上恒成立.　

又∵-=-(

∵x∴(.令t=(

則f(t)在［,+)上為減函數(shù)，　

f(t)≤f(=-(

即f(t)∈.　

∵a＞f(t),∴a∈(-，+).　

8.函數(shù)y=a^x(a＞0,且a≠1)在［1，2］上的最大值比最小值大，則a的值是　　　　 .　

答案　 或　

7.若函數(shù)f(x)=a^x-1 (a＞0,a≠1)的定義域和值域都是［0，2］，則實(shí)數(shù)a等于　　　　 .　

答案