(一)選擇題
1、某一排共12個(gè)座位，現(xiàn)甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右兩旁都有空座位，且三人的順序是甲必須在另兩人之間，則不同的座法共有
A、60種 B、112種 C、242種 D、672種
2、某同學(xué)從6門課中選學(xué)2門，其中有2門課上課時(shí)間有沖突，另有2門不允許同時(shí)選學(xué)，則該同學(xué)可選學(xué)的方法總數(shù)有
A、8種 B、13種 C、12種 D、9種
3、如圖，在某城市中，M、N兩地間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中的矩形的邊前進(jìn)，則從M到N不同的走法共有
A、13種 B、15種 C、25種 D、10種
4、將n個(gè)不同的小球放入n個(gè)不同的盒子里，恰好有一個(gè)空盒的放法種數(shù)是
A、
B、
C、
D、
5、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，則a1+a2+…+a8的值為
A、-1 B、-2 C、-512 D、510
6、
展開式中，x4的系數(shù)為
A、-40 B、10 C、40 D、45
7、
的展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是
A、84 B、85 C、86 D、87
8、
的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是
A、第3項(xiàng) B、第4項(xiàng) C、第2或第3項(xiàng) D、第3或第4項(xiàng)
9、擲三顆骰子(各面上分別標(biāo)以數(shù)字1到6的均勻正方體玩具)，恰有一顆骰子出1點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是
A、
B、
C、
D、
10、一工人看管三臺機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)甲、乙、丙三臺機(jī)床需要工人照看的概率分別是0.9，0.8和0.85，那么在一小時(shí)中至少有一臺機(jī)床不需要照看的概率是
A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.027
11、在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P的取值范圍是
A、[0.4，1] B、(0，0.4] C、(0，0.6] D、[0.6，1)
12、一批零件10個(gè)，其中有8個(gè)合格品，2個(gè)次品，每次任取一個(gè)零件裝配機(jī)器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，則
A、P1>P2 B、P1=P2 C、P1<P2 D、P1=2P2
13、一個(gè)學(xué)生通過某種英語聽力測試的概率是1/2，他連續(xù)測試n次，要保證他至少有一次通過的概率大于0.9，那么n的最小值為
A、3 B、4 C、5 D、6
14、甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p、q，他們各投兩次，若p=1/2，且甲比乙投中次數(shù)多的概率恰好等于7/36，則q的值為
A、
B、
C、
D、
例1、用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖)，要求在①，②，③，④個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色。
(1)若n=6，為甲著色時(shí)共有多少種不同方法？
(2)若為乙著色時(shí)共有120種不同方法，求n。
解：完成著色這件事，共分四個(gè)步驟，可依次考慮為①、②、③、④著色時(shí)各自的方法數(shù)，再由乘法原理確定決的著色方法數(shù)。因此
(1)為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也只有4種方法。
∴ 共有著色方法6×5×4×4=480種
(2)與①的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，同理，不同的著色方法數(shù)是n(n-1)(n-2)(n-3)
由n(n-1)(n-2)(n-3)=120
∴ (n2-3n)(n2-3n+2)-120=0
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0
∴ n2-3n-10=0
∴ n=5
例2、計(jì)算下列各題：
(1)
(2)
(3)
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
=
例3、按以下要求分配6本不同的書，各有幾種分法？
(1)平均分給甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)平均分成三份，每份2本；
(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；
(6)分成三份，一份4本，另兩份每份1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本(均只要求列式)
解：(1)
；
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
評注：有關(guān)排列組合混合題常常是先組合再排列。
例4、四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有( )
A、150種 B、147種 C、144種 D、141種
解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有
種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有
種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形(其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱)，它的4個(gè)點(diǎn)共面，有3種。以上三種情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有
(種)
例5、求(4+2x+x2)(2-x)7的展開式中x5的系數(shù)。
解：(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6
=(8-x3)[(x6-2C61x5+(-2)2C62x4+(-2)3C63x3+(-2)4C64x2+…]
∴ 含x5的項(xiàng)為-2×8×C61·x5-(-2)4C64x5=-336x5
∴ x5的系數(shù)為-336
例6、已知
的展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列。
(1)求展開式里所有的x的有理項(xiàng)；
(2)求展開式里系數(shù)最大的項(xiàng)。
解：(1)∵ 
由題設(shè)可知
解得n=8或n=1(舍去)
當(dāng)n=8時(shí)，通項(xiàng)
據(jù)題意，
必為整數(shù)，從而可知r必為4的倍數(shù)，而0≤r≤8
∴ r=0，4，8，故x的有理項(xiàng)為
，
，
(3)設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)tr+1最大，顯然tr+1>0，故有
≥1且
≤1
∵ 
由
≥1得r≤3
又∵ 
由
≤1得：r≥2
∴ r=2或r=3所求項(xiàng)為
和
例7、設(shè)a>1，n∈N，且n≥2，求證：
證明：設(shè)
，則(x+1)n=a
欲證原不等式，即證nx<(x+1)n-1，其中x>0
∵ 
即(x+1)n>nx+1，原不等式成立。
評注：由于(a+b)n的展開式共有n+1項(xiàng)，故可通過對某些項(xiàng)的取舍來達(dá)到近似計(jì)算或證明不等式的目的。
例8、盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；
(2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品。
解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有62=36種不同取法
(1)取到的2只都是次品情況為22=4種，因而所求概率為
(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率為
(3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對立事件，因而所求概率為
例9、甲、乙兩人獨(dú)立地破譯1個(gè)密碼，他們能譯出的密碼的概率分別為
和
，求：
(1)恰有1人譯出的密碼的概率；
(2)至多1人譯出的密碼的概率；
(3)若達(dá)到譯出的密碼的概率為
，至少需要多少個(gè)乙這樣的人。
解：記“甲譯出密碼”為事件A，“甲譯不出密碼”這事件
；記“乙譯出密碼”為事件B，“乙譯不出密碼”為事件
；“兩人都譯出密碼”為事件C，“兩人都譯不出密碼”為事件D；“恰有1人譯出密碼”為事件E；“至多1人譯出密碼”為事件F。
(1)“恰有1人譯出密碼”是包括2種情況：一種是
，另一種是
。這兩種情況不能同時(shí)發(fā)生，是互斥的。
∴ 
(2)“至多1人譯出密碼”包括兩種情況：“2人都譯不出密碼”或“恰有1人譯出密碼”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的
∴ 
(3)n個(gè)乙這樣的人都譯不出密碼的概率為
，根據(jù)題意得：
解得：n=16
例10、某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根，求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時(shí)另一盒還有r根(1≤r≤n)的概率。
解析：由題意知：數(shù)學(xué)家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。
由于數(shù)學(xué)家取火柴時(shí)，每次他在兩盒中任取一盒并從中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不從此盒中取出一根火柴的概率也是。
由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率為：
同步練習(xí)
5、概率
(1)概率是頻率的近似值，兩者是不同概念
(2)等可能事件中概率
，P(A)∈[0，1]
(3)互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)
特例：
時(shí)，
，即對立事件的概率和為1
(4)相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)P(B)
(5)事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式[(1-P)+P]n展開的第k+1項(xiàng)
4、二項(xiàng)式定理
通項(xiàng)公式
，r=0，1，2，…，n
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
(1)對稱性，在展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即
，
；
(2)增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)
最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)
，
相等，且為最大值；
(3)
3、處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律
(1)兩種思路：直接法，間接法
(2)兩種途徑：元素分析法，位置分析法
(3)對排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要完成什么樣的事件是前提
(4)基本題型及方法：捆綁法，插空法，錯(cuò)位法，分組分配法，均勻分組法，逆向思考法等
2、排列數(shù)與組合數(shù)都是計(jì)算完成事件方法個(gè)數(shù)的公式，排列數(shù)是研究排列(既取又排)個(gè)數(shù)的公式，組合數(shù)是研究組合(只取不排)個(gè)數(shù)的公式，是否有序是它們之間的本質(zhì)區(qū)別。
排列數(shù)公式：
，當(dāng)m=n時(shí)，
，其中m，n∈N+，m≤n，規(guī)定0!=1
組合數(shù)公式：
組合數(shù)性質(zhì)：
，規(guī)定
，其中m，n∈N+，m≤n
1、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來進(jìn)行計(jì)算。只不過利用分類計(jì)算原理時(shí)，每一種方法都可能獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計(jì)數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計(jì)數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復(fù)雜的問題，常先分類再分步。
3、理解隨機(jī)事件的概率，會求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率。
2、掌握二項(xiàng)式定理，會用展開式通項(xiàng)求有關(guān)展開式的問題。
1、排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算、化簡、證明等；會解排列、組合應(yīng)用題，掌握常見應(yīng)用題的處理思路。
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