1、設函數(shù)
的定義域為[a,b]，如果對于[a,b]內(nèi)任意兩數(shù)
，都有
(1)
則稱為[a,b]上的凸函數(shù)。若把(1)式的不等號反向，則稱這樣的為[a,b]上的凹函數(shù)。凸函數(shù)的幾何意義是：過
曲線上任意兩點作弦，則弦的中點必在該曲線的上方或在曲線上。
②．基本不等式： 
≥
(
)
語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
③．
的幾何解釋：
以
為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’^AB 則
，
從而
，而半徑
。
一般地，設有兩組實數(shù)：
，
，
，…，
與
，
，
，…，
，且它們滿足：
≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，
若
，
，
，…，
是，，，…，的任意一個排列，則和數(shù)
在，，，…，與，，，…，同序時最大，反序時最小，即：
，
等號當且僅當
或
時成立。
4、定理4：(柯西不等式的推廣形式)：設
為大于1的自然數(shù)，
(
1，2，…，)為任意實數(shù)，則：
，其中等號當且僅當
時成立(當
時，約定
，1，2，…，)。
證明：構(gòu)造二次函數(shù)：
即構(gòu)造了一個二次函數(shù)：
由于對任意實數(shù)
，
恒成立，則其
，
即：
，
即：
，
等號當且僅當
，
即等號當且僅當時成立(當時，約定，1，2，…，)。如果
(
)全為0，結(jié)論顯然成立。
柯西不等式有兩個很好的變式：
變式1 設
，等號成立當且僅當
變式2 設ai，bi同號且不為0(i=1，2，…，n)，則：
，等號成立當且僅當。
3、定理3：(三角形不等式)設
為任意實數(shù)，則：
思考：三角形不等式中等號成立的條件是什么？
，
其中等號當且僅當
時成立。
幾何意義：設
，
為平面上以原點O為起點的兩個非零向量，它們的終點分別為A(
)，B(
)，那么它們的數(shù)量積為
，
而
，
，
所以柯西不等式的幾何意義就是：
，
其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立。
2、定理2：(柯西不等式的向量形式)設，為平面上的兩個向量，則，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立。
12. 常見曲線的參數(shù)方程的一般形式：
(1)經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為
稱為直線的標準參數(shù)方程。
經(jīng)過點P0(x0，y0)，以
為方向向量的直線的參數(shù)方程為
稱為直線的一般參數(shù)方程。
此式中的
。
利用直線的參數(shù)方程，研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及弦長計算，有時比較方便。方法是：
則(1)當△<0時，l與C無交點；(2)當△=0時，l與C有一公共點；(3)當△>0時，l與C有兩個公共點；此時方程at2+bt+c=0有兩個不同的實根t1、t2，把參數(shù)t1、t2代入l的參數(shù)方程，即可求得l與C的兩個交點M1、M2的坐標；另外，由參數(shù)t的幾何
(2) 圓、橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程
(3)擺線：
當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上一個定點P的軌跡是什么？
我們把定點P的軌跡叫做平擺線，又叫旋輪線。
(4)圓的漸開線：
第二七講不等式選講
11、 化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關(guān)系x=f(t)(或y=j(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y=j(t)(或x=f(t))。一般地，常選擇的參數(shù)有角(如圓、橢圓、雙曲線)、有向線段的數(shù)量(如直線)、斜率(拋物線是以斜率的倒數(shù)為參數(shù))，某一點的橫坐標(或縱坐標)。
10、 化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法。要注意整體代入法及參數(shù)的取值范圍對x，y的取值范圍的影響。
9、參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系：
在求曲線的方程時，一般地需要建立曲線上動點P(x，y)的坐標x，y之間滿足的等量關(guān)系F(x，y)＝0，這樣得到的方程F(x，y)＝0就是曲線的普通方程；而有時要想得到聯(lián)系x，y的方程F(x，y)＝0是比較困難的，于是可以通過引入某個中間變量t，使之與曲線上動點P的坐標x，y間接地聯(lián)系起來，此時可得到方程組
顯然，參數(shù)方程與普通方程的最明顯的區(qū)別是其方程形式上的區(qū)別，更大的區(qū)別是普通方程反映了曲線上任一點坐標x，y的直接關(guān)系，而參數(shù)方程則反映了x，y的間接關(guān)系。
盡管參數(shù)方程與普通方程有很大的區(qū)別，但他們之間又有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系表現(xiàn)在兩方面：(1)這兩種方程都是同一曲線的不同的代數(shù)表現(xiàn)形式，是同一事物的兩個方面；(2)這兩種方程之間可以進行互化，通過消參可以把參數(shù)方程化為普通方程，而通過引入?yún)?shù)，也可把普通方程化為參數(shù)方程。需要注意的是，在將兩種方程互化的過程中，要注意兩種方程(在表示同一曲線的)等價性，即注意參數(shù)的取值范圍對x，y的取值范圍的影響。
實質(zhì)上，參數(shù)的思想方法就是在運動變化的哲學思想指導下的函數(shù)的思想方法，因此也可認為引入?yún)?shù)就是引入函數(shù)的自變量。參數(shù)法在求曲線的軌跡方程，以及研究某些最值問題時是一種常用的甚至是簡捷的解題方法。
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