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5.(04全國卷Ⅳ25)如圖所示,在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C.重物A(視為質點)位于B的右端,A、B、C的質量相等.現A和B以同一速度滑向靜止的C,B與C發(fā)生正碰.碰后B和C粘在一起運動，A在C上滑行,A與C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.試問：

B、C發(fā)生正碰到A剛移動到C右端期間,C所走過的距離是C板長

度的多少倍？

　 答案　 倍

　 解析　　 設A、B、C的質量均為m.碰撞前,A與B的共同速度為v_0,碰撞后B與C的共同速度為v_1。對B、C,由動量守恒定律得　 mv₀=2mv₁　　 　　　 　�、�

設A滑至C的右端時,三者的共同速度為v₂.對A、B、C,由動量守恒定律得　

2mv₀=3mv₁ ②

設A與C的動摩擦因數為μ,從發(fā)生碰撞到A移至C的右端時C所走過的距離為S.對B、C由功能關系

μ(2m)gs=(2m)v₂²-(2m)v₁² 　　 　　　　 ③

Μmg(s+l)= mv₀²-mv₂² ④

由以上各式解得=

4.(04上海21)滑雪者從A點由靜止沿斜面滑下,經一平臺后水平飛離B點,

地面上緊靠平臺有一個水平臺階,空間幾何尺度如圖所示.斜面、平臺與滑雪

板之間的動摩擦因數均為μ.假設滑雪者由斜面底端進入平臺后立即沿水平方

向運動,且速度大小不變.求:

(1)滑雪者離開B點時的速度大��；

(2)滑雪者從B點開始做平拋運動的水平距離s.

答案 (1)　

(2)當H-μL<2h時,s=當H-μL>2h時,s=2

解析　　 (1)設滑雪者質量為m,斜面與水平面間的夾角為θ,滑雪者滑行過程中克服摩擦力做功W=μmgs?cosθ+μmg(L-scosθ)=μmgL

由動能定理mg(H-h)-μmgL=mv²

離開B點時的速度v=

(2)設滑雪者離開B點后落在臺階上=gt₁²,s₁=vt₁<h

可解得s₁=<h

此時必須滿足H-μL<2h.

當H-μL>2h時,滑雪者直接落到地面上.h=gt₂²,s=vt²

可解得s=2

3.(04廣東14)一質量為m的小球,以初速度v₀沿水平方向射出,恰好垂直地射到一傾角為30°的固定斜面上,并立即沿反方向彈回.已知反彈速度的大小是入射速度大小的,求在碰撞過程中斜面對小球的沖量大小.

答案　

解析 　令小球與斜面相碰時速度大小為v,由題意可知,碰后的速度大小為v,因小球與斜面垂直相碰撞,后被反彈回,則碰撞中斜面對小球的沖量大小為I,(設定反彈回的速度方向為正)由動量定理得:

I=Δp=m×v-(-mv)=

又因小球水平的初速度為v₀,由右圖可得:v==2v₀

所以碰撞中斜面對小球的沖量大小為:I==

2.(05北京春招24)下雪天,卡車在筆直的高速公路上勻速行駛.司機突然發(fā)現前方停著一輛故障車,他將剎車踩到底,車輪被抱死,但卡車仍向前滑行,并撞上故障車,且推著它共同滑行了一段距離l后停下.事故發(fā)生后,經測量,卡車剎車時與故障車距離為L,撞車后共同滑行的距離l=L.假定兩車輪胎與雪地之間的動摩擦因數相同.已知卡車質量M為故障車質量m的4倍.　

(1)設卡車與故障車相撞前的速度為v₁,兩車相撞后的速度變?yōu)関₂,求；

(2)卡車司機至少在距故障車多遠處采取同樣的緊急剎車措施,事故才能免于發(fā)生.　

答案　 　(1) 　　(2) L

解析　 　(1)由碰撞過程動量守恒知　

Mv₁=(M+m)v_{2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 TH}①　

則

(2)設卡車剎車前速度為v₀,輪胎與雪地之間的動摩擦因數為μ,兩車相撞前卡車動能變化　

Mv₀²-Mv₁²=μMgL　　　　　　　　 　　 　　 ②　

碰撞后兩車共同向前滑動到最后靜止,動能變化　

(M+m)v₂²-0=μ(M+m)gl　　　　　　　　 ③　

由②式得v₀²-v₁²=2μgL　

由③式得v₂²=2μgl　

又因l=L,得v₀²=3μgL　

如果卡車滑到故障車前剛好停止,由　

Mv₀²-0=μMgL′　　　　　　　　　　　　　 ④　

故L′=L　

這意味著卡車司機在距故障車至少L處緊急剎車,事故就能夠免于發(fā)生.　

1.(05廣東18) 如圖所示，兩個完全相同的質量為m的木板A、B置

于水平地面上，它們的間距s=2.88 m.質量為2m、大小可忽略的物

塊C置于A板的左端.C與A之間的動摩擦因數為μ₁=0.22，A、B與水平地面之間的動摩擦因數為μ₂=0.10，最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力.開始時，三個物體處于靜止狀態(tài).現給C施加一個水平向右，大小為mg的恒力F，假定木板A、B碰撞時間極短且碰撞后粘連在一起.要使C最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應為多少？　

答案　 　0.3 m?

解析 　設A、C之間的滑動摩擦力大小為f₁，A與水平地面之間的滑動摩擦力大小為f₂　

∵μ₁=0.22,μ₂=0.10　

∴F=mg＜f₁=2μ₁mg　

且F=mg＞f₂=μ₂(2m+m)g　

∴一開始A和C保持相對靜止，在F的作用下向右加速運動，有　

(F-f₂)·s=(2m+m)v₁²

A、B兩木板的碰撞瞬間，內力的沖量遠大于外力的沖量，A、B組成的系統動量守恒，由動量守恒定律得：

mv₁=(m+m)v₂

碰撞結束后三個物體達到共同速度的相互作用過程中，設木板向前移動的位移為x₁，選三個物體構成的整體為研究對象，外力之和為零，則　

2mv₁+(m+m)v₂=(2m+m+m)v₃　

設A、B系統與水平地面之間的滑動摩擦力大小為f₃，對A、B系統，由動能定理　

f₁·s₁-f₃·s₁=·2mv₃²-·2mv₂²　

f₃=μ₂(2m+m+m)g　

對C物體，由動能定理　

F·(2l+x₁)-f₁·(2l+x₁)= ·2mv₃²-·2mv₁²　

由以上各式、再代入數據可得l=0.3 m

12.(2005江蘇18)如圖所示,三個質量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上,現給中間的小球B一個水平初速度v₀,方向與繩垂直,小球相互碰撞時無機械能損失,輕繩不可伸長.求：　

(1)當小球A、C第一次相碰時,小球B的速度；

(2)當三個小球再次處在同一直線上時,小球B的速度；　

(3)運動過程中小球A的最大動能E_kA和此時兩根繩的夾角θ；

(4)當三個小球處在同一直線上時,繩中的拉力F的大小.　

答案　 (1)v₀ (2)-v₀ (3)90°　 (4)m　

解析　 (1)設小球A、C第一次相碰時,小球B的速度為v_B,考慮到對稱性及繩的不可伸長特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為v_B.由動量守恒定律,得mv₀=3mv_B

由此解得v_B=v₀　

(2)當三個小球再次處在同一直線上時,則由動量守恒定律和機械能守恒定律,得　

mv₀=mv_B+2mv_A

mv₀²=mv_B²+2×mv_A²

解得v_B=-v₀,v_A=v₀(三球再次處于同一直線)　

v_B=v₀,v_A=0(初始狀態(tài),舍去)

所以三個小球再次處在同一直線上時,小球B的速度為　

v_B=-v₀(負號表明與初速度方向相反)　

(3)當小球A的動能最大時,小球B的速度為零.設此時小球A、C的速度大小為u,兩根繩間夾角為θ,則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律,得：

mv₀=2musin

mv₀²=2×mu²　

另外,E_kA=mu²

由此解得,小球A的最大動能為：　

E_kA=mv₀²　

此時兩根繩間夾角為θ=90°　

(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運動,當三個小球處在同一直線上時,以小球B為參考系(小球B的加速度為零,為慣性參考系),小球A、C相對小球B的速度均為：　

v=|v_A-v_B|=v₀　

所以,此時繩中拉力大小為：F=m=m　

題組三

11.(05全國理綜Ⅱ25)如圖所示,一對雜技演員(都視為質點)乘秋千(秋千繩處于水

平位置)從A點由靜止出發(fā)繞O點下擺,當擺到最低點B時,女演員在極短時間內將

男演員沿水平方向推出,然后自己剛好能回到高處A.求男演員落地點C與O點的水

平距離s.已知男演員質量m₁和女演員質量m₂之比=2,秋千的質量不計,秋千的擺長為R,C點比O點低5R.　 答案　 8 R

解析　 設分離前男女演員在秋千最低點B的速度為v₀,由機械能守恒定律得

(m₁+m₂)gR=(m₁+m₂)v₀² ①　

設剛分離時男演員速度大小為v₁,方向與v₀相同;女演員速度大小為v₂,方向與v₀相反,由動量守恒得(m₁+m₂)v₀=m₁v₁-m₂v₂ ②　

分離后,男演員做平拋運動,設男演員從被推出到落在C點所需的時間為t,根據題給條件,由運動學規(guī)律　

4R=gt² ③　　

s=v₁t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ④　

分離后,女演員恰回到A點,由機械能守恒定律　

m₂gR=m₂v₂² ⑤　

已知m₁=2m₂ ⑥　

由以上各式得：s=8 R　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

10.(05天津理綜24)如圖所示，質量m_A為4.0 kg的木板A放在水平面C上，

　 木板與水平面間的動摩擦因數μ為0.24，木板右端放著質量m_B為1.0 kg的

　 小物塊B(視為質點)，它們均處于靜止狀態(tài).木板突然受到水平向右的12 N·s的瞬時沖量I作用開始運動，當小物塊滑離木板時，木板的動能E_KA為8.0 J，小物塊的動能E_KB為0.50 J，重力加速度取10 m/s²，求：

(1)瞬時沖量作用結束時木板的速度v₀；　

(2)木板的長度L.　

答案　 (1)3.0 m/s　 (2)0.50 m?

解析(1)設水平向右為正方向，有　

I=m_Av₀ ①

代入數據解得

v₀=3.0 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

(2)設A對B、B對A、C對A的滑動摩擦力的大小分別為F_AB、F_BA和F_CA，B在A上滑行的時間為t，B離開A時A和B的速度分別為v_A和v_B，有

-(F_BA+F_CA)t=m_Av_A-m_Av₀ ③

F_ABt=m_Bv_B ④　

其中F_AB=F_BA

F_CA=μ(m_A+m_b)g　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

設A、B相對于C的位移大小分別為S_A和S_B,

有-(F_BA+F_CA)S_A=m_Av_A²-m_Av₀² ⑥　

F_ABS_B=E_KB ⑦

動量與動能之間的關系為　

m_Av_A=　　　　 　　 　　　　　　　　　　 ⑧

m_Bv_B= 　　　　　　　　　　　　　　 　　 ⑨　

木板A的長度

L=s_A-s_B　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　 ⑩　

代入數據解得　

L=0.50 m

9.(2006重慶理綜25)如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內.小球

A、B質量分別為m、βm(β為待定系數).A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌

道下滑,與靜止于軌道最低點的B球相撞,碰撞后A、B球能達到的最大高度均為R,

碰撞中無機械能損失.重力加速度為g.試求:

(1)待定系數β;　

(2)第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力;

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度,并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度.

答案　 (1)β=3　　 (2)A:v₁=-,方向向左;B:v₂=,方向向右；4.5 mg,方向豎直向下

(3)A:V₁=-, B:V₂=0.當n為奇數時,小球A、B第n次碰撞結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同.

當n為偶數時,小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同.

解析 　　(1)由mgR=+得β=3　

(2)設A、B碰撞后的速度分別為v₁、v₂,則　

mv₁²=

βmv₂²=　

設向右為正、向左為負,得　

v₁=-,方向向左　

v₂=,方向向右　

設軌道對B球的支持力為N,B球對軌道的壓力為N′,方向豎直向上為正、向下為負，

則N-βmg=βm

N′=-N=-4.5 mg,方向豎直向下

(3)設A、B球第二次碰撞剛結束時的速度分別為V₁、V₂,則

解得V₁=- ,V₂=0　

(另一組解:V₁=-v₁,V₂=-v₂不合題意,舍去)　

由此可得:　

當n為奇數時,小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同;當n為偶數時,小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同.　

8.(2006江蘇17)如圖所示，質量均為m的A、B兩個彈性小球，用長為2l的不可

伸長的輕繩連接.現把A、B 兩球置于距地面高H處(H足夠大)，間距為l，當A球

自由下落的同時，將B球以速度v₀指向A球水平拋出，求：　

(1)兩球從開始運動到相碰，A球下落的高度；

(2)A、B兩球碰撞(碰撞時無機械能損失)后，各自速度的水平分量；　

(3)輕繩拉直過程中，B球受到繩子拉力的沖量大小.　

答案　　 (1) 　　(2)v₀ 0　　 (3)

解析　 (1)設A球下落的高度為h

l=v₀t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

h=gt² ②

聯立①②得h=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)由水平方向動量守恒得

mv₀=mv_Ax′+mv_Bx′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由機械能守恒得

m(v₀²+v_By²)+ mv_Ay²=m(v_Ax′²+v_Ay′²)+ m(v_Bx′²+v_By′²)　　　　　　 ⑤

式中v_Ay′=v_Ayv_By′=v_By

聯立④⑤得v_Ax′=v₀,v_Bx′=0

(3)由水平方向動量守恒得

mv₀=2mv_Bx″

則I=mv₀-mv_Bx″=