7、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：二項(xiàng)式定理的主要應(yīng)用有近似計(jì)算、證明整除性問(wèn)題或求余數(shù)、應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮證明不等式。
如(1)(0.998)5精確到0.001近似值為_(kāi)___0.990 ____；
(2)
被4除所得的余數(shù)為_(kāi)_
___；
(3)今天是星期一，10045天后是星期___ 二 __；
(4)求證：
能被64整除；
(5)求證：
6、(1)二項(xiàng)式定理：(a+b) 
=C
a+ C
a
b+…+ C
a
b
+…+C
b n∈N，它共有n+1項(xiàng)，其中C(r=0,1,2…n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，Cab叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)，用T
表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，T＝Cab，
特別提醒：(1)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在
的展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為
，第r+1項(xiàng)的系數(shù)為
；而
的展開(kāi)式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)；
(2)當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
(3)審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？
如：(1)
的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_
___；
(2)
的展開(kāi)式中的
的系數(shù)為_(kāi)_____ ；
(3)數(shù)
的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是_ 3個(gè)
___；
(4)
展開(kāi)后所得的
的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_ 7 ___項(xiàng)；
(5)若
的值能被5整除，則的可
取值的個(gè)數(shù)有__ 5
__個(gè)；
(6)若
二項(xiàng)式
按降冪展開(kāi)后，其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則 的取值范圍是 ；
(7)函數(shù)
的最大值是_______
.
(2)、在二項(xiàng)式定理中，對(duì)a,b取不同的值可推出許多常用的式子：
(1)(1+x)=1+Cx+C
x
+…+Cx+…+x (a=1,b=x)
(2) C+ C+…+ C+…+C=2 (a=b=1)
(3) C+ C+
+…= C+
+…=2 (a=1 b=-1)
應(yīng)用“賦值法”可求得
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為
、“奇數(shù) (偶次)項(xiàng)”系數(shù)和為
，以及“偶數(shù) (奇次)項(xiàng)”系數(shù)和為
。
如(1)如果
，則
；
(2)化簡(jiǎn)
得
(3)已知
，則
等于__ ；
(4)
，則
+
＝_
____；
(5)設(shè)
,則
_____。
(3)、楊輝三角： 1
2
1 (a+b)
1 2 1
(a+b)
1 3 3 1
(a+b)
1 4 6 4 1
(a+b)
1 5 10 10 5 1
(a+b)
1 6 15 20 15 6 1 (a+b)
表中除1以外的其余各數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。
當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。
(4)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即
2)增減性與最大值：當(dāng)r≤
時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)r≥時(shí),C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
取得最大值。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
相等并同時(shí)取最大值
如(1)在二項(xiàng)式
的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____
_
；
(2)在
的展開(kāi)式中，第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則
＝___ 18
_。
(5)、求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)常先判斷系數(shù)的絕對(duì)值的單調(diào)性。求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)在上面的基礎(chǔ)上再分析符號(hào)。
設(shè)第
項(xiàng)的系數(shù)
最大，由不等式組
確定�；蛴�
來(lái)確定。
如求
的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。
5、排列組合應(yīng)用題的最基本的解法有：
1)直接法：以元素為考察對(duì)象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素，稱為元素分析法，或以位置為考察對(duì)象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置，稱為位置分析法。如：
(1)用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)__156_____個(gè)；
(2)某班上午要上語(yǔ)、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語(yǔ)文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_(kāi)6____；
先排第一節(jié)，再對(duì)第二節(jié)分類討論。
(3)四個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中。①恰有兩個(gè)空盒的放法有84_____種；②甲球只能放入第2或3號(hào)盒，而乙球不能放入第4號(hào)盒的不同放法有_96_____種。(1)分三步：第一步先選兩個(gè)空盒，第二步把四個(gè)球分成兩組，第三步把分成的兩組放入余下的兩個(gè)空盒中。
。(2)
(4)設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有______ 31 ___
從反面考慮，并用全錯(cuò)位法。
2)間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出總排列數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)。
如(1)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，能構(gòu)成多少個(gè)直角三角形。
(2) 正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)為四面體的頂點(diǎn)，能構(gòu)成多少個(gè)這樣的四面體？
(3)在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以確定三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)____。15。注意有四點(diǎn)共線與三點(diǎn)共線。
3)先選后排，注意分類討論。選取問(wèn)題先選后排法。
如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是__。
常用技巧有：
1)插空法(不相鄰)，捆綁法(相鄰問(wèn)題)，
(1)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_(kāi)___2880_；
(2)某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_(kāi)_20_；
先捆綁后插空。
(3)把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是___ 144 __
連續(xù)編號(hào)有：(12)(23)(34)(45)(56)，
(4)3人坐在一排八個(gè)座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_24__種；
(5)某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_(kāi)__ 42 __。
2)插板法(可化為正整數(shù)解的問(wèn)題)，相同元素分組可采用隔板法。
如(1)10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分發(fā)？每人至少兩個(gè)呢？
答 36,15
(2)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？
答
9個(gè)洞，插6塊板，
3)等分法，如：5人站隊(duì)，要求甲站在乙的前面，有多少種不同的站法？60
4)平均分配(n個(gè)元素平均分成m組)。要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問(wèn)題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_______種(答：37440)；
5)
解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：
分類相加(每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事)，
分步相乘(一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的)，
有序排列，無(wú)序組合．
如(1)將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有 243 種；
(2)從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 70 種；
(3)從集合
和
中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_ 23
__；
(4)72的正約數(shù)(包括1和72)共有 12 個(gè)；
(5)
的一邊AB上有4個(gè)點(diǎn)，另一邊AC上有5個(gè)點(diǎn)，連同的頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成___ 90 __個(gè)三角形；
按含A與不含A分類。
(6)(涂色問(wèn)題：用分類討論法)用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開(kāi)，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 480 種不同涂法；
引伸練習(xí)：上題中變?yōu)槿鐖DA、B、C、D、E五塊區(qū)域，又有多少種不同的涂法。
分類法：分四類：(1)B、C同色，且A、D同色，(2)B、C同色，且A、D不同色，(3)B、C不同色，且A、D同色，(4)B、C不同色，且A、D不同色，共1560。
(7)同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 .9 種；
(8)
是集合
到集合
的映射，且
，則不同的映射共有 7
個(gè)；列表分類。
(9)滿足
的集合A、B、C共有 組。
6、(1)二項(xiàng)式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…+ Cab+…+Cb n∈N，它共有n+1項(xiàng)，其中C(r=0,1,2…n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，Cab叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)，用T表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，T＝Cab，
特別提醒：(1)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在的展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第r+1項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開(kāi)式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)；
(2)當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
(3)審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？
如：(1)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_
___；
(2)的展開(kāi)式中的的系數(shù)為_(kāi)_____ ；
(3)數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是_ 3個(gè)
___；
(4)展開(kāi)后所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_ 7 ___項(xiàng)；
(5)若的值能被5整除，則的可
取值的個(gè)數(shù)有__ 5
__個(gè)；
(6)若二項(xiàng)式按降冪展開(kāi)后，其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則 的取值范圍是 ；
(7)函數(shù)的最大值是_______
.
(2)、在二項(xiàng)式定理中，對(duì)a,b取不同的值可推出許多常用的式子：
(1)(1+x)=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)
(2) C+ C+…+ C+…+C=2 (a=b=1)
(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)
應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項(xiàng)”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項(xiàng)”系數(shù)和為。
如(1)如果，則 ；
(2)化簡(jiǎn)得
(3)已知，則等于__ ；
(4)，則+
＝_
____；
(5)設(shè),則_____。
(3)、楊輝三角： 1
1
1 (a+b)
1 2 1
(a+b)
1 3 3 1
(a+b)
1 4 6 4 1
(a+b)
1 5 10 10 5 1
(a+b)
1 6 15 20 15 6 1 (a+b)
表中除1以外的其余各數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。
當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。
(4)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即
2)增減性與最大值：當(dāng)r≤時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)r≥時(shí),C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值
如(1)在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____
；
(2)在的展開(kāi)式中，第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則＝___ 18
_。
(5)、求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)常先判斷系數(shù)的絕對(duì)值的單調(diào)性。求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)在上面的基礎(chǔ)上再分析符號(hào)。
設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，由不等式組確定�；蛴�來(lái)確定。
如求的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。
4、組合的概念：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。
組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)C
表示。
組合數(shù)公式：C＝
，
組合數(shù)性質(zhì)：(1)C＝
，(2)
(倒序法，或利用
)
如：
3、排列的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。
全排列：把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做這n個(gè)元素的一個(gè)全排列。
排列數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A表示。A＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=
,規(guī)定：0！＝1，排列數(shù)恒等式(1)
;(2)
;(3)
(4)
階乘：自然數(shù)1到n的連乘積，用n!=1×2×3×…×n表示 .
(1)1！+2！+3！+…+n！(
)的個(gè)位數(shù)字為 3
；
(2)滿足
的＝ 8
2、全錯(cuò)位法，n個(gè)編有號(hào)碼1,2，3，…n的元素，放入編有號(hào)碼1,2，3，…n的n個(gè)位置，并使元素編號(hào)與位置編號(hào)不同，則共有多少種放法？n=1時(shí)，有0種，n=2時(shí)有1種,n=3時(shí)，有2種，n=4時(shí)，有9種，n=5時(shí)，有44種,…一般，
，
1、分類計(jì)數(shù)原理(也稱加法原理)：完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有m
種不同的方法，在第二類方法中有m
種不同的方法，…，在第n類方法中有m
種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+m+…+m不同的方法。
注：每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事。
分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：完成一件事，需要n個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有m種不同的方法，…做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mm…m不同的方法。注：一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事。各步是關(guān)聯(lián)的。
某些復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題有時(shí)既要用分類計(jì)數(shù)原理，又要用分步計(jì)數(shù)原理，分類中有分步，分步中有分類。
7、幾個(gè)結(jié)論：
(3)
(4)
(5)
(6)
第二十三講計(jì)數(shù)原理、排列組合與二項(xiàng)式定理
2、
兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件：
6、復(fù)數(shù)的運(yùn)算：(1)、復(fù)數(shù)的加減法則：
(2)、復(fù)數(shù)的乘法與除法：乘法注意應(yīng)用分配律，除法是先寫出分式的形式，再分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)。
特別注意：
1、 數(shù)的分類：
6、 歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法。數(shù)學(xué)歸納法：是證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，所得結(jié)論一般是正確的。是不完全歸納法的一種。
數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是：(1)驗(yàn)證
時(shí)，結(jié)論正確，
是使命題成立的最自然數(shù)。(2)假設(shè)當(dāng)
時(shí)命題成立，證明當(dāng)
時(shí)命題也成立，(3)作結(jié)論，由(1)(2)知命題成立。
第二十二講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
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