1. 設abc≠0，“ac>0”是“曲線ax2+by2＝c為橢圓”的 ( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
6. 向量的坐標形式及應用是解析法的重要補充，應注意把二者有機地結合起來
[模擬試題](滿分100分，時間60分鐘)
5. 求出軌跡方程后要注意檢驗，以保證方程的解與曲線上的點具有一一對應的關系，尤其是題中涉及三角形、斜率、參數(shù)方程中參數(shù)的限制，往往使方程產(chǎn)生增根
4. 求軌跡方程的主要方法有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法
3. 注意用好以下數(shù)學思想、方法：
①方程思想；②函數(shù)思想；③對稱思想；④參數(shù)思想；⑤轉化思想；⑥分類思想
除上述幾種常用數(shù)學思想外，整體思想、數(shù)形結合思想、主元分析思想、正難則反思想、構造思想等也是解析幾何解題中不可缺少的思想方法在學習中必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力
2. 四點重視：①重視定義在解題中的作用；②重視平面幾何知識在解題中的簡化功能；③重視根與系數(shù)關系在解題中的作用；④重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一
解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學與高等數(shù)學的紐帶，它本身側重于形象思維、推理運算和數(shù)形結合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準確地轉換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，研究幾何性質學習時應熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉化的思想等，以達到優(yōu)化解題的目的
具體來說，有以下三方面：
(1)確定曲線方程，實質是求某幾何量的值；含參數(shù)系數(shù)的曲線方程或變化運動中的圓錐曲線的主要問題是定值、最值、最值范圍問題，這些問題的求解都離不開函數(shù)、方程、不等式的解題思想方法有時題設設計的非常隱蔽，這就要求認真審題，挖掘題目的隱含條件作為解題突破口
(2)解析幾何也可以與數(shù)學其他知識相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀，在解題時保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進行轉化，即從一知識轉化為另一知識
(3)解析幾何與其他學科或實際問題的綜合，主要體現(xiàn)在用解析幾何知識去解有關知識，具體地說就是通過建立坐標系，建立所研究曲線的方程，并通過方程求解來回答實際問題在這一類問題中“實際量”與“數(shù)學量”的轉化是易出錯的地方，這是因為在坐標系中的量是“數(shù)量”，不僅有大小還有符號
[典型例題]
例1 如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a>0，b≠0)，且交拋物線y2＝2px(p>0)于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點
(1)寫出直線l的截距式方程；
(2)證明：
+
＝
；
(3)當a＝2p時，求∠MON的大小
分析：易知直線l的方程為
+
＝1，欲證+＝，即求
的值，為此只需求直線l與拋物線y2＝2px交點的縱坐標由根與系數(shù)的關系易得y1+y2、y1y2的值，進而證得+＝ 由
·
＝0易得∠MON＝90°亦可由kOM·kON＝－1求得∠MON＝90°
(1)解：直線l的截距式方程為+＝1
(2)證明：由+＝1及y2＝2px消去x可得by2+2pay－2pab＝0
點M、N的縱坐標為y1、y2，
故y1+y2＝
，y1y2＝－2pa
所以+＝＝
＝
(3)解：設直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，
則k1＝
，k2＝
當a＝2p時，由(2)知，y1y2＝－2pa＝－4p2，
由y12＝2px1，y22＝2px2，相乘得(y1y2)2＝4p2x1x2，
x1x2＝
＝
＝4p2，
因此k1k2＝
＝
＝－1
所以OM⊥ON，即∠MON＝90°
點評：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力
例2 已知橢圓C的方程為
+
＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)
(1)當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
(2)當
＝λ
時，求λ的最大值
分析：(1)求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60°易得
＝
，由雙曲線的焦距為4易得a2+b2＝4，進而可求得a、b
(2)由＝λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標，而P是l與l1的交點，故需求l的方程將l與l2的方程聯(lián)立可求得P點的坐標，進而可求得點A的坐標將點A的坐標代入橢圓方程可求得λ的最大值
解：(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，兩漸近線夾角為60°，
又<1，∴∠POx＝30°，即＝tan30°＝
∴a＝
b
又a2+b2＝4， ∴a2＝3，b2＝1
故橢圓C的方程為
+y2＝1
(2)由已知l：y＝
(x－c)，與y＝x解得P(
，
)，
由＝λ得A(
，
)
將A點坐標代入橢圓方程得
(c2+λa2)2+λ2a4＝(1+λ)2a2c2
∴(e2+λ)2+λ2＝e2(1+λ)2
∴λ2＝
＝－［(2－e2)+
］+3≤3－2
∴λ的最大值為－1
點評：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應用解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想本題是培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的一道好題
例3 設橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e＝
，已知點P(0，
)到這個橢圓上的點的最遠距離是
，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標
分析：設橢圓方程為+＝1，由e＝知橢圓方程可化為x2+4y2＝4b2，然后將距離轉化為y的二次函數(shù)，二次函數(shù)中含有一個參數(shù)b，在判定距離有最大值的過程中，要討論y＝－
是否在y的取值范圍內，最后求出橢圓方程和P點坐標
解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是+＝1，其中a＞b＞0待定
由e2＝
＝
＝1－()2
可知＝
＝
＝，即a＝2b
設橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d，
則d2＝x2+(y－)2＝a2(1－)+y2－3y+
＝ 4b2－3y2－3y+＝－3(y+)2+4b2+3，其中－b≤y≤b
如果b＜，則當y＝－b時d2(從而d)有最大值，
由題設得()2＝(b+)2，
由此得b＝－＞，與b＜矛盾
因此必有b≥成立，于是當y＝－時d2(從而d)有最大值，
由題設得()2＝4b2+3，由此可得b＝1，a＝2
故所求橢圓的直角坐標方程是
+y2＝1
由y＝－及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(－，－)，點(，－)到點P的距離都是
解法二：根據(jù)題設條件，設橢圓上任意一點的坐標為(x，y)則
其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，
∵e＝，∴a＝2b
設橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d，則
d2＝x2+(y－)2＝a2cos2θ+(bsinθ－)2＝－3b2·(sinθ+
)2+4b2+3
如果＞1，即b＜，
則當sinθ＝－1時，d2(從而d)有最大值，
由題設得()2＝(b+) 2，
由此得b＝－＞，與b＜矛盾
因此必有≤1成立，于是當sinθ＝－時，d2(從而d)有最大值，
由題設得()2＝4b2+3 由此得b＝1，a＝2
所以橢圓參數(shù)方程為
消去參數(shù)得+y2＝1，
由sinθ＝
，cosθ＝±知橢圓上的點(－，－)，(，－)到P點的距離都是
點評：本題體現(xiàn)了解析幾何與函數(shù)、三角知識的橫向聯(lián)系，解答中要注意討論
例4 如圖，矩形ABCD中，
，以AB邊所在的直線為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，P是x軸上方一點，使PC、PD與線段AB分別交于
、
兩點，且
成等比數(shù)列，求動點P的軌跡方程
解：顯然有
，
設
，
三點共線，
，
，又
三點共線，
，
，
，
，
，
化簡得動點P的軌跡方程為
例5 設雙曲線
的兩個焦點分別是F1和F2，A 、B分別是雙曲線兩條漸進線上的動點，且
，求線段AB中點的軌跡方程
分析：復習雙曲線性質，注意點在直線上使橫縱坐標互相轉換
解：設A點在漸進線
上，B點在漸進線
上，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB中點 M(x，y)，
由
＝30，得：
，
又
，
代入上式得：
，化簡得：
小結：
解析幾何與函數(shù)、三角、數(shù)列、向量等知識聯(lián)系密切，正是考查綜合能力的地方。為此在學習時應抓住以下幾點：
1. 客觀題求解時應注意畫圖，抓住涉及到的一些元素的幾何意義，用數(shù)形結合法去分析解決
教學重點：
掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，理解橢圓的參數(shù)方程 (2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質
(3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質
(4)了解圓錐曲線的初步應用
教學難點：
解析幾何知識的綜合運用，以及與其它知識的靈活運用。
圓錐曲線的綜合問題
22.甲、乙兩袋均裝有標有數(shù)字1、2、3、4、5的大小相同的小球各一個，從甲袋中任取1個小球，從乙袋中任取2個小球，用
表示取出的3個小球上的最小數(shù)字。
求：(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；
(2)求P(=2或=3)的值
江西省豐城中學高二年級第五次月考
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座位號 |
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數(shù)學試題 (理科零班卷) 2009.3.14
命題人：熊海榮 審題人：黃漢樂
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