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3、運(yùn)算律

加法：+=+，(+)+=+(+)

實(shí)數(shù)與向量的乘積：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=

(λμ)

兩個(gè)向量的數(shù)量積：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·

說明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，例如(±)²=

2、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。

向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下：

運(yùn)　 算	圖形語言	符號語言	坐標(biāo)語言
加法與減法		+= -=	記=(x1,y1)，=(x1,y2) 則+=(x1+x2,y1+y2) 　 -=(x2-x1,y2-y1)
	+=
實(shí)數(shù)與向量 的乘積		=λ λ∈R	記=(x,y) 則λ=(λx,λy)
兩個(gè)向量 的數(shù)量積		·=|||| cos<,>	記=(x1,y1), =(x2,y2) 則·=x1x2+y1y2

1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡捷。

向量運(yùn)算中的基本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線；③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。

3、向量運(yùn)算的運(yùn)用

2、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；

1、向量的概念；

(三)　　　　 解答題

16、若函數(shù) 的值域?yàn)閇-1，5]，求a，c。

17、設(shè)定義在[-2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1-m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

18、已知0<a<1，在函數(shù)y=log_ax(x≥1)的圖象上有A，B，C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+2，t+4

(1)若△ABC面積為S，求S=f(t)；

(2)判斷S=f(t)的單調(diào)性；

(3)求S=f(t)最大值。

19、設(shè)f(x)=，x∈R

(1)證明：對任意實(shí)數(shù)a，f(x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù)；

(2)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，求a；

(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，對于給定的正實(shí)數(shù)k，解不等式。

20、設(shè)0<a<1，函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閇m，n]，值[log_aa(n-1)，log_aa(m-1)]，　　　

(二)　　　　 填空題

　　 7、已知定義在R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則=__________。

8、　 已知y=log_a(2-x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是__________。

9、　 函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇1，3]，則f(x²+1)的定義域是__________。

　　 10、函數(shù)f(x)=x²-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，則f(b^x)與f(c^x)的大小關(guān)系是__________。

　　 11、已知f(x)=log₃x+3，x∈[1，9]，則y=[f(x)]²+f(x²)的最大值是__________。

12、已知A={y|y=x²-4x+6，y∈N}，B={y|y=-x²-2x+18，y∈N}，則A∩B中所有元素的和是__________。

13、若φ(x)，g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在(0，+∞)上有最大值，則f(x)在(-∞，0)上最小值為__________。

14、函數(shù)y=log₂(x²+1)(x>0)的反函數(shù)是__________。

15、求值：=__________。

(一)　　　　 選擇題

　　 1、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上單調(diào)遞增，設(shè)a=f(3)，b=f()，c=f(2)，則a，b，c大小關(guān)系是

A、a>b>c　　　　 B、a>c>b　　　　 C、b>c>a　　　　 D、c>b>a

2、方程(a>0且a≠1)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是

A、0　　　　　　 B、1　　　　　　 C、2　　　　　　 D、3

3、的單調(diào)減區(qū)間是

A、(-∞，1)　　 B、(1，+∞)　　 C、(-∞，-1)∪(1，+∞) D、(-∞，+∞)

3、函數(shù)的值域?yàn)?/p>

A、　 (-∞，3]　　　 B、(-∞，-3]　　　 C、(-3，+∞)　　　 D、(3，+∞)

4、函數(shù)y=log₂|ax-1|(a≠b)的圖象的對稱軸是直線x=2，則a等于

A、　 　　　　　　　B、　　　　　 C、2　　　　　　　 D、-2

　　 6、有長度為24的材料用一矩形場地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長度為

A、　 　3　　　　　　　 B、4　　　　　　　 C、6　　　　　　　 D、12

　 　例1、已知，函數(shù)y=g(x)圖象與y=f^-1(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求g(11)的值。

分析：

利用數(shù)形對應(yīng)的關(guān)系，可知y=g(x)是y=f^-1(x+1)的反函數(shù)，從而化g(x)問題為已知f(x)。

∵ y=f^-1(x+1)

∴ x+1=f(y)

∴ x=f(y)-1

∴ y=f^-1(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1

即 g(x)=f(x)-1

∴ g(11)=f(11)-1=

評注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，當(dāng)f(x)存在反函數(shù)時(shí)，若b=f(a)，則a=f^-1(b)。

例2、設(shè)f(x)是定義在(-∞，+∞)上的函數(shù)，對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-1<x≤1時(shí)，f(x)=2x-1，求當(dāng)1<x≤3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。

解題思路分析：

利用化歸思想解題

∵ f(x)+f(x+2)=0

∴ f(x)=-f(x+2)

∵ 該式對一切x∈R成立

∴ 以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)

當(dāng)1<x≤3時(shí)，-1<x-2≤1

∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5

∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5

∴ f(x)=-2x+5(1<x≤3)

評注：在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過程中還體現(xiàn)了整體思想。

例3、已知g(x)=-x²-3，f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)為奇函數(shù)，求f(x)解析式。

分析：

用待定系數(shù)法求f(x)解析式

設(shè)f(x)=ax²+bx+c(a≠0)

則f(x)+g(x)=(a-1)x²+bx+c-3

由已知f(x)+g(x)為奇函數(shù)

∴

∴ f(x)=x²+bx+3

下面通過確定f(x)在[-1，2]上何時(shí)取最小值來確定b，分類討論。

　 ，對稱軸

(1)當(dāng)≥2，b≤-4時(shí)，f(x)在[-1，2]上為減函數(shù)

∴

∴ 2b+7=1

∴ b=3(舍)

(2)當(dāng)(-1，2)，-4<b<2時(shí)

∴

∴ (舍負(fù))

(3)當(dāng)≤-1，b≥2時(shí)，f(x)在[-1，2]上為增函數(shù)

　∴ (f(x)_min=f(1)=4-b

　∴ 4-b=1

　∴ b=3

　∴ ，或

　　 評注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下，仍需討論何時(shí)取得最小值。

例4、定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

(1)求證：f(0)=1；

(2)求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；

(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；

(4)若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范圍。

分析：

(1)令a=b=0，則f(0)=[f(0)]²

　∵ f(0)≠0

　∴ f(0)=1

(2)令a=x，b=-x

　則 f(0)=f(x)f(-x)

　∴

　由已知x>0時(shí)，f(x)>1>0

　當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)>0

　∴

　又x=0時(shí)，f(0)=1>0

　∴ 對任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0

　∴

　∴ f(x₂)>f(x₁)

　∴ f(x)在R上是增函數(shù)

(4)f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x)

　又1=f(0)，f(x)在R上遞增

　∴ 由f(3x-x²)>f(0)得：3x-x²>0

　∴ 0<x<3

評注：根據(jù)f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特點(diǎn)，對a、b適當(dāng)賦值。利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號“f”得到關(guān)于x的代數(shù)不等式，是處理抽象函數(shù)不等式的典型方法。

例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求的值。

分析：

在化對數(shù)式為代數(shù)式過程中，全面挖掘x、y滿足的條件

由已知得

∴ x=4y，

∴

例6、某工廠今年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估測以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用y=ab^x+c(其中a，b，c為常數(shù))或二次函數(shù)，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由。

分析：

設(shè)f(x)=px²+qx+r(p≠0)

則

∴

∴ f(4)=-0.05×4²+0.35×4+0.7=1.3

設(shè)g(x)=ab^x+c

則

∴

∴ g(4)=-0.8×0.5⁴+1.4=1.35

∵ |1.35-1.37|<|1.3-1.37|

∴ 選用y=-0.8×(0.5)^x+1.4作為模擬函數(shù)較好。

鞏固練習(xí)