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解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶.它本身側(cè)重于形象思維.推理運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合.綜合了代數(shù).三角.幾何.向量等知識(shí)反映在解題上.就是根據(jù)曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式.根據(jù)方程畫(huà)出圖形.研究幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想.數(shù)形結(jié)合的思想.參數(shù)的思想.分類(lèi)與轉(zhuǎn)化的思想等.以達(dá)到優(yōu)化解題的目的 具體來(lái)說(shuō).有以下三方面: (1)確定曲線方程.實(shí)質(zhì)是求某幾何量的值,含參數(shù)系數(shù)的曲線方程或變化運(yùn)動(dòng)中的圓錐曲線的主要問(wèn)題是定值.最值.最值范圍問(wèn)題.這些問(wèn)題的求解都離不開(kāi)函數(shù).方程.不等式的解題思想方法有時(shí)題設(shè)設(shè)計(jì)的非常隱蔽.這就要求認(rèn)真審題.挖掘題目的隱含條件作為解題突破口 (2)解析幾何也可以與數(shù)學(xué)其他知識(shí)相聯(lián)系.這種綜合一般比較直觀.在解題時(shí)保持思維的靈活性和多面性.能夠順利進(jìn)行轉(zhuǎn)化.即從一知識(shí)轉(zhuǎn)化為另一知識(shí) (3)解析幾何與其他學(xué)科或?qū)嶋H問(wèn)題的綜合.主要體現(xiàn)在用解析幾何知識(shí)去解有關(guān)知識(shí).具體地說(shuō)就是通過(guò)建立坐標(biāo)系.建立所研究曲線的方程.并通過(guò)方程求解來(lái)回答實(shí)際問(wèn)題在這一類(lèi)問(wèn)題中“實(shí)際量 與“數(shù)學(xué)量 的轉(zhuǎn)化是易出錯(cuò)的地方.這是因?yàn)樵谧鴺?biāo)系中的量是“數(shù)量 .不僅有大小還有符號(hào) [典型例題] 例1 如圖.O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a>0.b≠0).且交拋物線y2＝2px(p>0)于M(x1.y1).N(x2.y2)兩點(diǎn) (1)寫(xiě)出直線l的截距式方程, (2)證明:+＝, (3)當(dāng)a＝2p時(shí).求∠MON的大小 分析:易知直線l的方程為+＝1.欲證+＝.即求的值.為此只需求直線l與拋物線y2＝2px交點(diǎn)的縱坐標(biāo)由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2.y1y2的值.進(jìn)而證得+＝ 由·＝0易得∠MON＝90°亦可由kOM·kON＝-1求得∠MON＝90° (1)解:直線l的截距式方程為+＝1 (2)證明:由+＝1及y2＝2px消去x可得by2+2pay-2pab＝0 點(diǎn)M.N的縱坐標(biāo)為y1.y2. 故y1+y2＝.y1y2＝-2pa 所以+＝＝＝ (3)解:設(shè)直線OM.ON的斜率分別為k1.k2. 則k1＝.k2＝ 當(dāng)a＝2p時(shí).由(2)知.y1y2＝-2pa＝-4p2. 由y12＝2px1.y22＝2px2.相乘得(y1y2)2＝4p2x1x2. x1x2＝＝＝4p2. 因此k1k2＝＝＝-1 所以O(shè)M⊥ON.即∠MON＝90° 點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線.拋物線等基本知識(shí).考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 例2 已知橢圓C的方程為+＝1(a>b>0).雙曲線-＝1的兩條漸近線為l1.l2.過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l.使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn).設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A.B (1)當(dāng)l1與l2夾角為60°.雙曲線的焦距為4時(shí).求橢圓C的方程, (2)當(dāng)＝λ時(shí).求λ的最大值 分析:(1)求橢圓方程即求a.b的值.由l1與l2的夾角為60°易得＝.由雙曲線的焦距為4易得a2+b2＝4.進(jìn)而可求得a.b (2)由＝λ.欲求λ的最大值.需求A.P的坐標(biāo).而P是l與l1的交點(diǎn).故需求l的方程將l與l2的方程聯(lián)立可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).進(jìn)而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得λ的最大值 解:(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x.兩漸近線夾角為60°. 又<1.∴∠POx＝30°.即＝tan30°＝ ∴a＝b 又a2+b2＝4. ∴a2＝3.b2＝1 故橢圓C的方程為+y2＝1 (2)由已知l:y＝(x-c).與y＝x解得P(.). 由＝λ得A(.) 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得 (c2+λa2)2+λ2a4＝(1+λ)2a2c2 ∴(e2+λ)2+λ2＝e2(1+λ)2 ∴λ2＝＝-［(2-e2)+］+3≤3-2 ∴λ的最大值為-1 點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓.雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí).及向量.定比分點(diǎn)公式.重要不等式的應(yīng)用解決本題的難點(diǎn)是通過(guò)恒等變形.利用重要不等式解決問(wèn)題的思想本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的一道好題 例3 設(shè)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn).長(zhǎng)軸在x軸上.離心率e＝.已知點(diǎn)P(0.)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是.求這個(gè)橢圓方程.并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo) 分析:設(shè)橢圓方程為+＝1.由e＝知橢圓方程可化為x2+4y2＝4b2.然后將距離轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù).二次函數(shù)中含有一個(gè)參數(shù)b.在判定距離有最大值的過(guò)程中.要討論y＝-是否在y的取值范圍內(nèi).最后求出橢圓方程和P點(diǎn)坐標(biāo) 解法一:設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+＝1.其中a＞b＞0待定 由e2＝＝＝1-()2 可知＝＝＝.即a＝2b 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x.y)到點(diǎn)P的距離為d. 則d2＝x2+(y-)2＝a2(1-)+y2-3y+ ＝ 4b2-3y2-3y+＝-3(y+)2+4b2+3.其中-b≤y≤b 如果b＜.則當(dāng)y＝-b時(shí)d2(從而d)有最大值. 由題設(shè)得()2＝(b+)2. 由此得b＝-＞.與b＜矛盾 因此必有b≥成立.于是當(dāng)y＝-時(shí)d2(從而d)有最大值. 由題設(shè)得()2＝4b2+3.由此可得b＝1.a＝2 故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+y2＝1 由y＝-及求得的橢圓方程可得.橢圓上的點(diǎn)(-.-).點(diǎn)(.-)到點(diǎn)P的距離都是 解法二:根據(jù)題設(shè)條件.設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x.y)則 其中a＞b＞0待定.0≤θ＜2π. ∵e＝.∴a＝2b 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x.y)到點(diǎn)P的距離為d.則 d2＝x2+(y-)2＝a2cos2θ+(bsinθ-)2＝-3b2·(sinθ+)2+4b2+3 如果＞1.即b＜. 則當(dāng)sinθ＝-1時(shí).d2(從而d)有最大值. 由題設(shè)得()2＝(b+) 2. 由此得b＝-＞.與b＜矛盾 因此必有≤1成立.于是當(dāng)sinθ＝-時(shí).d2(從而d)有最大值. 由題設(shè)得()2＝4b2+3 由此得b＝1.a＝2 所以橢圓參數(shù)方程為 消去參數(shù)得+y2＝1. 由sinθ＝.cosθ＝±知橢圓上的點(diǎn)(-.-).(.-)到P點(diǎn)的距離都是 點(diǎn)評(píng):本題體現(xiàn)了解析幾何與函數(shù).三角知識(shí)的橫向聯(lián)系.解答中要注意討論 例4 如圖.矩形ABCD中..以AB邊所在的直線為x軸.AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.P是x軸上方一點(diǎn).使PC.PD與線段AB分別交于.兩點(diǎn).且成等比數(shù)列.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 解:顯然有. 設(shè). 三點(diǎn)共線.. .又三點(diǎn)共線. .. . .. 化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 例5 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1和F2.A .B分別是雙曲線兩條漸進(jìn)線上的動(dòng)點(diǎn).且.求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程 分析:復(fù)習(xí)雙曲線性質(zhì).注意點(diǎn)在直線上使橫縱坐標(biāo)互相轉(zhuǎn)換 解:設(shè)A點(diǎn)在漸進(jìn)線 上.B點(diǎn)在漸進(jìn)線 上. A(x1.y1).B(x2.y2).線段AB中點(diǎn) M(x.y). 由＝30.得:. 又. 代入上式得:.化簡(jiǎn)得: 小結(jié): 解析幾何與函數(shù).三角.數(shù)列.向量等知識(shí)聯(lián)系密切.正是考查綜合能力的地方.為此在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):1. 客觀題求解時(shí)應(yīng)注意畫(huà)圖.抓住涉及到的一些元素的幾何意義.用數(shù)形結(jié)合法去分析解決 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（2012•泉州模擬）數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著許多奇妙的聯(lián)系．詩(shī)中有回文詩(shī)，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹(shù)”，倒過(guò)來(lái)讀，便是“樹(shù)外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來(lái)真是一種享受！數(shù)學(xué)中也有回文數(shù)，如：88，454，7337，43534等都是回文數(shù)，無(wú)論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個(gè)數(shù)，稱(chēng)這樣的數(shù)為“回文數(shù)”，讀起來(lái)還真有趣！
二位的回文數(shù)有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個(gè)；
三位的回文數(shù)有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90個(gè)；
四位的回文數(shù)有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個(gè)；
由此推測(cè)：10位的回文數(shù)總共有
90000
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個(gè)．

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解析幾何是數(shù)與形的結(jié)合，由方程組的解的組數(shù)可得圖形的位置關(guān)系.例如，當(dāng)兩個(gè)圓組成方程組無(wú)解時(shí)，說(shuō)明兩圓無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩圓的位置關(guān)系為相離，但可能是外離也可能是內(nèi)含.你能判斷方程組其他解的組數(shù)與兩圓的位置間的關(guān)系嗎？

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數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著許多奇妙的聯(lián)系. 詩(shī)中有回文詩(shī)，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹(shù)”，倒過(guò)來(lái)讀，便是“樹(shù)外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來(lái)真是一種享受！數(shù)學(xué)中也有回文數(shù)，如：88，454，7337，43534等都是回文數(shù)，無(wú)論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個(gè)數(shù)，稱(chēng)這樣的數(shù)為“回文數(shù)”，讀起來(lái)還真有趣！

二位的回文數(shù)有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個(gè)；

三位的回文數(shù)有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90個(gè)；

四位的回文數(shù)有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個(gè)；

由此推測(cè)：10位的回文數(shù)總共有__▲　　個(gè). [來(lái)源:]

 

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解析幾何是數(shù)與形的結(jié)合，由方程組的解的組數(shù)可得圖形的位置關(guān)系.例如，當(dāng)兩個(gè)圓組成方程組無(wú)解時(shí)，說(shuō)明兩圓無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩圓的位置關(guān)系為相離，但可能是外離也可能是內(nèi)含.你能判斷方程組其他解的組數(shù)與兩圓的位置間的關(guān)系嗎？

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數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著許多奇妙的聯(lián)系．詩(shī)中有回文詩(shī)，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹(shù)”，倒過(guò)來(lái)讀，便是“樹(shù)外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來(lái)真是一種享受！數(shù)學(xué)中也有回文數(shù)，如：88，454，7337，43534等都是回文數(shù)，無(wú)論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個(gè)數(shù)，稱(chēng)這樣的數(shù)為“回文數(shù)”，讀起來(lái)還真有趣！
二位的回文數(shù)有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個(gè)；
三位的回文數(shù)有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90個(gè)；
四位的回文數(shù)有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個(gè)；
由此推測(cè)：10位的回文數(shù)總共有    個(gè)．

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