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4.(2008海南理11)已知點(diǎn)P在拋物線y² = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與

點(diǎn)P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　　　　 　 ( 　　)

A.(，－1) 　 　　 B.(，1)　　 　 C.(1，2)　　 　D.(1，－2)

答案 　A

3.(2008全國(guó)Ⅱ理9)設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是 (　 　)

A．　　 　　 B．　　 　 C．　　　 　　 D．

答案 　B

2.(2008江西理7)已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ( 　　)

A．　　　 　　　B．　 　　　　C．　 　　　　D．

答案 　C

1.(2008湖北卷10)如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛　

向月球，在月球附近一點(diǎn)軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓

軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在變點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子：

①;　　 ②;　　 ③;　　　 ④＜.

其中正確式子的序號(hào)是 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　( 　　)

A. ①③　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④

答案 　B

72.(2009重慶卷文)(本小題滿分12分)

已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．

(Ⅰ)求該雙曲線的方程；

(Ⅱ)如題(20)圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)； 　　　　　

解 (Ⅰ)由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得　 解得　 從而，該雙曲線的方程為.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，

所以　 ，是圓上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，故　

從而

當(dāng)在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為

直線CD的方程為，因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故

由方程組　 解得　

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.　 　　　　

2005-2008年高考題

71.(2009重慶卷理)(本小題滿分12分)

已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．

(Ⅰ)若的坐標(biāo)分別是，求的最大值；

(Ⅱ)如題圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

解　 (Ⅰ)由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為(a ＞b＞ 0 ).

　設(shè)，由準(zhǔn)線方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 .

　又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以,

　從而，當(dāng)且僅當(dāng)，

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)上式取等號(hào)，的最大值為4　. 　　　

(II)如圖(20)圖，設(shè)

.因?yàn)?sub>，故

　　　　　 ①

　因?yàn)?sub>

所以 .　　 ②

記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>P是BQ的中點(diǎn)

所以

由因?yàn)?，結(jié)合①，②得

故動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)方程為

70.(2009上海卷文)(本題滿分16分)

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線m:,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l的方向向量。

(1)　　　 求雙曲線C的方程； 　　

(2)　　　 若過(guò)原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；

(3)　　　 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.

(1)解　 設(shè)雙曲線的方程為

　 ，解得_，雙曲線的方程為

(2)解　 直線，直線

由題意，得，解得

(3)證明　 方法一 設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線

則直線與的距離當(dāng)時(shí)， 　　　

又雙曲線的漸近線為 　　　　　　　

　 雙曲線的右支在直線的右下方，

　 雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為

(3)方法二 　假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，

則

由(1)得

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，；

將代入(2)得

，　 　　　　　

方程不存在正根，即假設(shè)不成立，

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為 　　　

69.(2009年上海卷理)(本題滿分16分)　　

　已知雙曲線設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方向向量　 　

(1)　　　 當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l與m的距離；

(2)　　　 證明：當(dāng)>時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為。

(1)解　 雙曲線C的漸近線

　　　　 直線l的方程

　　　　 直線l與m的距離

(2)證明　 方法一設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行與l的直線

則直線l與b的距離

當(dāng) 　　　　　　　

又雙曲線C的漸近線為　

雙曲線C的右支在直線b的右下方，

雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離為。

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為。

(2)方法二　 雙曲線的右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，

則

由(1)得，　

設(shè)　 　　　

當(dāng)，0

將　 代入(2)得　　　 (*)

方程(*)不存在正根，即假設(shè)不成立 　　　　　　

故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l 的距離為

68.(2009福建卷文)(本小題滿分14分)

已知直線經(jīng)過(guò)橢圓 　　　的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線

分別交于兩點(diǎn)。

(I)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；

(Ⅲ)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由

解　 方法一(I)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

　 故橢圓的方程為

(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，

從而

由得0

設(shè)則得，從而 　　　

即又

由得

故

又 　　

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 　　

時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，當(dāng)取最小值時(shí)，

　 此時(shí)的方程為

　 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。

設(shè)直線

則由解得或 　　

67.(2009湖南卷理)(本小題滿分13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F(3，0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和 　　　　　　　　

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡C；

(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段

MN長(zhǎng)度的最大值。

　解(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則3︳x-2︳

由題設(shè)

當(dāng)x>2時(shí)，由①得 化簡(jiǎn)得　 　　　

當(dāng)時(shí)　 由①得化簡(jiǎn)得　　　　　　 　　　　　　

故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與

拋物線在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點(diǎn))

所組成的曲線，參見(jiàn)圖1

(Ⅱ)如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是

A(2，)，B(2，)，

直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由②知

.　　　　　　　　 ④ 　　

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由③知 　　　　　

　　　　　　　　　 ⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

(i)當(dāng)k≤，或k≥，即k≤-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M(，)，N(，)都在C 上，此時(shí)由④知

∣MF∣= 6 - 　　∣NF∣= 6 - 　　　　　　

從而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)

由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*∣MN∣=12 - (+)=12 -

因?yàn)楫?dāng)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。

(2)當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則④⑤知，

　 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E

　 所以。而點(diǎn)A，E都在上，且

　有(1)知 　　　　　　

若直線的斜率不存在，則==3，此時(shí)

綜上所述，線段MN長(zhǎng)度的最大值為_.