42.(2009湖北卷文)(本小題滿分14分)
已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝
+bx2+cx+bc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣,
記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.
(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-
，試確定b、c的值：
(Ⅱ)若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。
本小題主要考察函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識，考察綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理
論證的能力和份額類討論的思想(滿分14分)
(I)解析 
，由
在
處有極值
可得
解得
或
若
，則
，此時沒有極值；
若
，則
當(dāng)
變化時，，
的變化情況如下表：
|
|
 |
 |
 |
1 |
 |
|
|
 |
0 |
+ |
0 |
|
|
|
 |
極小值 |
|
極大值 |
|
當(dāng)時，有極大值，故
，
即為所求。
(Ⅱ)證法1：
當(dāng)
時，函數(shù)
的對稱軸
位于區(qū)間
之外。
在
上的最值在兩端點處取得
故
應(yīng)是
和
中較大的一個
即
證法2(反證法)：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外，
在上的最值在兩端點處取得。
故應(yīng)是和中較大的一個
假設(shè)
，則
將上述兩式相加得：
，導(dǎo)致矛盾，
(Ⅲ)解法1：
(1)當(dāng)時，由(Ⅱ)可知；
(2)當(dāng)
時，函數(shù)
)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，
此時
由
有
①若
則
，
于是
②若
，則
于是
綜上，對任意的
、
都有
而當(dāng)
時，
在區(qū)間上的最大值
故
對任意的、恒成立的
的最大值為
。
解法2：
(1)當(dāng)時，由(Ⅱ)可知；
(2)當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，
此時
，即
下同解法1
41.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
的圖象在與軸交點處的切線方程是
。
(I)求函數(shù)的解析式；
(II)設(shè)函數(shù)
，若
的極值存在，求實數(shù)
的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值.
解析 (I)由已知,切點為(2,0),故有
,即
……①
又
，由已知
得
……②
聯(lián)立①②，解得
.
所以函數(shù)的解析式為
…………………………………4分
(II)因為
令
當(dāng)函數(shù)有極值時，則
，方程
有實數(shù)解，
由
，得
.
①當(dāng)
時，
有實數(shù)
，在左右兩側(cè)均有
，故函數(shù)無極值
②當(dāng)
時，有兩個實數(shù)根
情況如下表：
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
所以在
時，函數(shù)有極值；
當(dāng)
時，有極大值；當(dāng)
時，有極小值；
…………………………………12分
40.(2009陜西卷理)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
，其中
若在x=1處取得極值，求a的值；
求的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)若的最小值為1，求a的取值范圍�！ �
解(Ⅰ)
∵在x=1處取得極值，∴
解得
(Ⅱ)
∵
∴
①當(dāng)
時，在區(qū)間
∴的單調(diào)增區(qū)間為
②當(dāng)
時，
由
∴
(Ⅲ)當(dāng)時，由(Ⅱ)①知，
當(dāng)時，由(Ⅱ)②知，在
處取得最小值
綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是
39.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
求的單調(diào)區(qū)間；
若在
處取得極值，直線y=my與
的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。
解析 (1)
當(dāng)
時，對
，有
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為
當(dāng)時，由
解得
或
；
由
解得
，
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為
；的單調(diào)減區(qū)間為
。
(2)因為在處取得極大值，
所以
所以
由
解得
。
由(1)中的單調(diào)性可知，在處取得極大值
，
在處取得極小值
。
因為直線
與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，又
，
，
結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。
38.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)如
，求的單調(diào)區(qū)間；
(1)若在
單調(diào)增加，在
單調(diào)減少，證明
＜6.
(21)解析
(Ⅰ)當(dāng)時，
，故
當(dāng)
當(dāng)
從而
單調(diào)減少.
(Ⅱ)
由條件得：
從而
因為
所以
將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，
故
又
由此可得
于是
37.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=
x
－ax+(a－1)
，
。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：若
，則對任意x
，x
，x
x，有
。
解析 (1)的定義域為。
2分
(i)若
即
,則
故在單調(diào)增加。
(ii)若
,而,故
,則當(dāng)
時，;
當(dāng)
及
時，
故在
單調(diào)減少，在
單調(diào)增加。
(iii)若
,即
,同理可得在
單調(diào)減少，在
單調(diào)增加.
(II)考慮函數(shù) 
則
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)
時有
，即
，故，當(dāng)
時，有
·········12分
36.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)
設(shè)
，且曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與x軸平行。
(2)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；
(1)證明：當(dāng)
解析 (Ⅰ)
.有條件知，
，故
.
………2分 于是
.
故當(dāng)
時，＜0；
當(dāng)
時，＞0.
從而在
，單調(diào)減少，在
單調(diào)增加. ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在
單調(diào)增加，故在的最大值為
，
最小值為
.
從而對任意，
，有
.
………10分
而當(dāng)
時，
.
從而 
………12分
35.(2009福建卷理)(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
,且
(1) 試用含
的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)令
,設(shè)函數(shù)在
處取得極值，記點M (,
)，N(,
)，P(
), 
,請仔細(xì)觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：
(I)若對任意的m (,
x
)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；
(II)若存在點Q(n ,f(n)), x 
n<
m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過程)
解法一:
(Ⅰ)依題意,得
由
.
從而
令
①當(dāng)a>1時,
當(dāng)x變化時，與的變化情況如下表：
|
x |
 |
 |
 |
|
|
+ |
－ |
+ |
|
|
單調(diào)遞增 |
單調(diào)遞減 |
單調(diào)遞增 |
由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。
②當(dāng)
時，
此時有
恒成立，且僅在處
，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R
③當(dāng)
時，
同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
和
，單調(diào)減區(qū)間為
綜上：
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由得
令
得
由(1)得增區(qū)間為和
，單調(diào)減區(qū)間為
，所以函數(shù)在處取得極值，故M(
)N(
)。
觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：
①當(dāng)m從-1(不含-1)變化到3時，線段MP的斜率與曲線在點P處切線的斜率之差Kmp-
的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。
②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；
③Kmp－=0對應(yīng)的位置可能是臨界點，故推測：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點
處的切線斜率
；
線段MP的斜率Kmp
當(dāng)Kmp－=0時，解得
直線MP的方程為
令
當(dāng)
時，
在
上只有一個零點
，可判斷函數(shù)在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，又
，所以在上沒有零點，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點。
當(dāng)
時，
.
所以存在
使得
即當(dāng)
MP與曲線有異于M,P的公共點
綜上，t的最小值為2.
(2)類似(1)于中的觀察，可得m的取值范圍為
解法二：
(1)同解法一.
(2)由得
，令
，得
由(1)得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()
(Ⅰ)
直線MP的方程為
由
得
線段MP與曲線
有異于M,P的公共點等價于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)
上有零點.
因為函數(shù)
為三次函數(shù),所以至多有三個零點,兩個極值點.
又
.因此,
在
上有零點等價于在內(nèi)恰有一個極大值點和一個極小值點,即
內(nèi)有兩不相等的實數(shù)根.
等價于
即
又因為
,所以m
的取值范圍為(2,3)
從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.
333.(2009湖南卷文)(本小題滿分13分)
已知函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)若在
處取得最小值，記此極小值為
，求的定義域和值域。
解: (Ⅰ)
.因為函數(shù)
的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
所以
，于是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，
.
(ⅰ)當(dāng)c 
12時，
，此時無極值。
(ii)當(dāng)c<12時，
有兩個互異實根,.不妨設(shè)＜，則＜2＜.
當(dāng)x＜時，
， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)＜x＜時，
，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng)
時，，在區(qū)間
內(nèi)為增函數(shù).
所以在
處取極大值，在
處取極小值.
因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以
.
于是的定義域為
.由 
得
.
于是 
.
當(dāng)
時，
所以函數(shù)
在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域為
32.(2009全國卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
有兩個極值點
，且
(I)求的取值范圍，并討論
的單調(diào)性；
(II)證明：
解: (I)
令
，其對稱軸為
。由題意知是方程
的兩個均大于
的不相等的實根，其充要條件為
，得
⑴當(dāng)
時，
在
內(nèi)為增函數(shù)；
⑵當(dāng)
時，
在內(nèi)為減函數(shù)；
⑶當(dāng)
時，在
內(nèi)為增函數(shù)；
(II)由(I)
，
設(shè)
，
則
⑴當(dāng)
時，
在
單調(diào)遞增；
⑵當(dāng)
時，
，
在單調(diào)遞減。
故
．
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