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66.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)

焦點(diǎn)的距離分別是7和1

(1)求橢圓的方程‘

(2)若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，(e為橢圓C的離心率)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

解(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及分別為a,c,由已知得 　　　　　

{　 解得a=4,c=3, 　　　

所以橢圓C的方程為 　　　　　　

(Ⅱ)設(shè)M(x,y),P(x,),其中

由已知得

而，故　　　　　 �、�

由點(diǎn)P在橢圓C上得 ， 　　　　　　

代入①式并化簡(jiǎn)得

所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段. 　　　　　　

65.(2009湖北卷文)(本小題滿分13分)

如圖，過(guò)拋物線y²＝2PX(P﹥0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，

自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M₁、N₁

(Ⅰ)求證：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)記△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面積分別為S^1、、S^2、，S³，試判斷S²₂＝4S₁S₃是否成立，并證明你的結(jié)論。 　　

(1)　　　 證明　 方法一 　由拋物線的定義得

如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x的交點(diǎn)為

而

即

故

方法二　 依題意，焦點(diǎn)為準(zhǔn)線l的方程為

設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為直線MN的方程為，則有

由　 得

于是，，

，故

(Ⅱ)解 　成立，證明如下：

方法一 　設(shè)，則由拋物線的定義得

，于是

將與代入上式化簡(jiǎn)可得 　　

，此式恒成立。

故成立。

方法二　 如圖，設(shè)直線M的傾角為，

則由拋物線的定義得

于是

在和中，由余弦定理可得

由(I)的結(jié)論，得

即，得證。

64.(2009全國(guó)卷Ⅰ文)(本小題滿分12分)

　如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。

(Ⅰ)求r的取值范圍

(Ⅱ)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：(Ⅰ)將拋物線代入圓的方程，

消去，整理得

拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程(1)有兩個(gè)不相等的正根

∴即。

解這個(gè)方程組得.

(II)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。

則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有，

則

令，則　　 下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。

方法2：設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、

則直線AC、BD的方程分別為

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。

設(shè)，由及(Ⅰ)得 　　

由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積

則將，

代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或(舍去)

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，

故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。 　

63.(2009四川卷文、理)(本小題滿分12分)　　　　

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。

解 (I)由已知得，解得　 　　　

∴

∴ 所求橢圓的方程為 .　　　　

(II)由(I)得、

①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得

設(shè)、，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ ，這與已知相矛盾。

②若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，

設(shè)、，

聯(lián)立，消元得

∴　 ， 　　

∴　 ，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵

∴　

∴　

化簡(jiǎn)得

解得

∴　

∴　 所求直線的方程為　　

62.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)

已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。 　　

(1)求雙曲線C的方程；

(2)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。

方法一 解(Ⅰ)由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)(0，a)到漸近線，

所以所以

由

所以曲線的方程是

(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線C的兩條漸近線方程為

設(shè)

由

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入

因?yàn)?sub>

又

所以

記

則

由

又S(1)=2，

當(dāng)時(shí)，面積取到最小值，當(dāng)當(dāng)時(shí)，面積取到最大值

所以面積范圍是

方法二(Ⅰ)由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)(0，a)到漸近線，

由

所以曲線的方程是.

(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為

由題意知

由

由

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)

=_.

61.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)

　已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。 　　　　

解 (Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得

， 　　

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　　　　

(Ⅱ)設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得

。

整理得，其中。

(i)時(shí)�；�簡(jiǎn)得 　　　

所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。

(ii)時(shí)，方程變形為，其中

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓；

60.(2009遼寧卷文、理)(本小題滿分12分)

已知，橢圓C以過(guò)點(diǎn)A(1，)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求橢圓C的方程；

(2)　　　 E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 　　　　　

(Ⅰ)解 由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為。 　　　　　

因?yàn)?i>A在橢圓上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以橢圓方程為　 ．　　 　　　　　　　

(Ⅱ)證明 　設(shè)直線AE方程：得，代入得 　　　　　

設(shè)E(，)，F(，)．因?yàn)辄c(diǎn)A(1，)在橢圓上，

所以， 　　　　　

�！　　　　　　　　　　�

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得

， 　　　　　

。

所以直線EF的斜率。

即直線EF的斜率為定值，其值為。　　　　　　　　　　　 　

59.(2009福建卷理)(本小題滿分13分)

已知A,B 分別為曲線C： +=1(y0,a>0)與x軸

的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上

異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.

(1)若曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；

(II)如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由�！� 　　　　　　　　　　　　　　　　

解 方法一

(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°.

(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí), ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

　(2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,

(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.

由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.

顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.

由

設(shè)點(diǎn)

故,從而.

亦即

由得

由,可得即

經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線.　　 故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.

方法二:

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.

由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.

顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為

由

設(shè)點(diǎn),則有

故

由所直線SM的方程為

O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.

故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.

58.(2009湖南卷文)(本小題滿分13分)

　已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形(記為Q).

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)(包括邊界)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍。

解 (Ⅰ)依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，

由題設(shè)條件知， 所以

故橢圓C的方程為　　 .

(Ⅱ)橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，

顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為�！　　� 　　　　　

　如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G，

由得.　　　　　 ……①

由解得.　　 ……②

因?yàn)?sub>是方程①的兩根，所以，于是

=，　　 .

因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，

又直線,方程分別為

所以點(diǎn)在正方形內(nèi)(包括邊界)的充要條件為

　即　 亦即　　　 　　　　　

解得，此時(shí)②也成立. 　　　

故直線斜率的取值范圍是

57.(2009全國(guó)卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)

已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 　　　　　　

(I)求，的值；

(II)上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？

若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

解 (I)設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為

　則，解得 .又.

(II)由(I)知橢圓的方程為.設(shè)、

由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)

代入橢圓的方程中整理得，顯然。

由韋達(dá)定理有：．．．．．．．．①

.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：

點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。

整理得。 　　　　　　　

又在橢圓上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

將及①代入②解得

,=,即.

當(dāng);

當(dāng).