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56.(2009四川卷文)(本小題滿分12分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。

解(I)由已知得，解得 　　　　　　　　　　　

∴

∴ 所求橢圓的方程為 .　　　

(II)由(I)得、

①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得

設(shè)、，　 　　　　　　

∴ ，這與已知相矛盾。

②若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，

設(shè)、，

聯(lián)立，消元得

∴　 ，

∴　 ， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵

∴　

∴　

化簡(jiǎn)得

解得

∴　

∴　 所求直線的方程為 .　

54.(2009湖北卷理)(本小題滿分14分)

過拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。 　　　　　　

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：⊥；

(Ⅱ)記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

解 　依題意，可設(shè)直線MN的方程為，

則有

由_，消去x可得 　　　　　　　　　　

從而有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

于是　　　　　　　　　　　　　 ②

又由，可得　　　　 �、�

(Ⅰ)如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線

此時(shí) ①可得

證法1：

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對(duì)任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有

將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得

上式恒成立，即對(duì)任意成立 　　　　　　　　　

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經(jīng)過原點(diǎn)O，

同理可證直線也經(jīng)過原點(diǎn)O

又設(shè)則

53.(2009天津卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓()的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且

(Ⅰ求橢圓的離心率；

(Ⅱ)直線AB的斜率；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)H(m,n)()在的外接圓上，求的值。

解 (1)由，得,從而

，整理得，故離心率

(2)由(1)知，，所以橢圓的方程可以寫為

設(shè)直線AB的方程為即

由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組 　　　

消去y整理，得

依題意，

而，有題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，

所以

聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得_.

(3)由(2)知，，當(dāng)時(shí)，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點(diǎn)滿足方程組

由，解得，故

當(dāng)時(shí)，同理可得_.

52.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)

已知點(diǎn)為雙曲線(為正常數(shù))上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于.　　 　　　　

(1)　　 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)　　 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過兩定點(diǎn).

　(1) 解　 由已知得,則直線的方程為:,

　 令得,即,

設(shè),則,即代入得:,

即的軌跡的方程為. 　　　　　　

(2) 證明 　在中令得,則不妨設(shè),

于是直線的方程為:,

直線的方程為:,

則,

則以為直徑的圓的方程為: ,

令得:,而在上,則,

于是,即以為直徑的圓過兩定點(diǎn).

51.(2009江西卷文)(本小題滿分14分)

如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn).　　　　　　

(1)求圓的半徑;

(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，

(1)解 設(shè)，過圓心作于,交長(zhǎng)軸于

由得,

即　 　　　　　　　(1)　　　　　　

而點(diǎn)在橢圓上,　　　 (2)

由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)

(2) 證明設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為:

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

則,即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)

解得

將(3)代入得,則異于零的解為

設(shè),，則

則直線的斜率為：

于是直線的方程為:　

即

則圓心到直線的距離　　　　　　 　　

故結(jié)論成立.

50.(2009安徽卷理)(本小題滿分13分) 　　

點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.

(I)證明: 點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)； 　　　　

(II)證明:構(gòu)成等比數(shù)列.

解析：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)�？疾榫C合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。

證明 (I)(方法一)由得代入橢圓,

得.

將代入上式,得從而

因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P. 　　　　　

(方法二)顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，若Q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得

即故P與Q重合。

(方法三)在第一象限內(nèi)，由可得

橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率

切線方程為即。

因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。 　　

根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。

(II)的斜率為的斜率為

由此得構(gòu)成等比數(shù)列。

49.(2009廣東卷理)(本小題滿分14分)

已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．

(1)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程； 　　　　　　

(2)若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．

解(1)聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，

設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，

∴化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，

且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，

∴中點(diǎn)的軌跡方程為().

(2)曲線，

即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑

由圖可知，當(dāng)時(shí)，曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.

48.(2009全國卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)

已知橢圓C:　　　　　　　　　　 的離心率為　　　 ，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B

(Ⅰ)求a,b的值；

(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有　　　　　　　 成立？

若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。

解析：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。

解(Ⅰ)設(shè) 當(dāng)的斜率為1時(shí)，其方程為到的距離為

　， 故　 ， 　　　

　　　 由 ，得 ，=

(Ⅱ)C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。

由 (Ⅰ)知C的方程為+=6. 設(shè)

(ⅰ)

　C 成立的充要條件是，

且

整理得

故　 　　　　　�、�

將

于是 , =,

代入①解得，，此時(shí)

于是=， 即　　 　

　 因此， 當(dāng)時(shí)，， ；

　當(dāng)時(shí)，， 。

(ⅱ)當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。

綜上，C上存在點(diǎn)使成立，

此時(shí)的方程為.

47. (2009山東卷文)(本小題滿分14分)

設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; 　　　

(2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;

(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,當(dāng)R為何值時(shí),|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解(1)因?yàn)?sub>,,,

所以,　　 即. 　　　

當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;

當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓

當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;

當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.

(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

則使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因?yàn)?sub>與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

則△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此時(shí)A,B重合為B₁(x₁,y₁)點(diǎn), 　　　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因?yàn)?sub>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即

當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

[命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問題.

46.(2009山東卷理)(本小題滿分14分)

設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N (,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

(I)求橢圓E的方程；

(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N (,1)兩點(diǎn),

所以解得所以橢圓E的方程為

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 　　　

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

因?yàn)?sub>,

所以,

,　

①當(dāng)時(shí)

因?yàn)?sub>所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 　　　

②　　 當(dāng)時(shí),.

③　　 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,

所以此時(shí),

綜上, |AB |的取值范圍為即:

[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.