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45.(2009江蘇卷)(本題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在軸上。

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；

(3)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。

44.(2009北京理)(本小題共14分)

已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.

[解法1]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程

的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．

(Ⅰ)由題意，得，解得，

　∴，∴所求雙曲線的方程為.

(Ⅱ)點(diǎn)在圓上，

圓在點(diǎn)處的切線方程為，

化簡得.

由及得，

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，

∴，且，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

∵，且

，

.

∴ 的大小為.

[解法2](Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)點(diǎn)在圓上，

圓在點(diǎn)處的切線方程為，

化簡得.由及得

　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，

∴，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

∴，∴ 的大小為.

(∵且，∴，從而當(dāng)時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零).

43.(2009北京文)(本小題共14分) 　　

已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為。

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值.　

[解析]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程

的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．

解(Ⅰ)由題意，得，解得，

∴，∴所求雙曲線的方程為.

(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為，

　 由得(判別式),

∴,

∵點(diǎn)在圓上，

∴，∴.

42.(2009浙江文)(本題滿分15分)

已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．

(I)求與的值；

(II)設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)．若是的切線，求的最小值．

解(Ⅰ)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得

拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得

(Ⅱ)由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。

則，當(dāng)　 則。

聯(lián)立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直線斜率為 　　　

，聯(lián)立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：

　　　　 MN是拋物線的切線，，

　　　　 　整理得

，解得(舍去)，或，

41.(2009浙江理)(本題滿分15分)

已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為．

　(I)求橢圓的方程；

　(II)設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．

解(I)由題意得所求的橢圓方程為， 　　

(II)不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本�MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 　　

設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；

當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．

40.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).

(1)求橢圓G的方程

(2)求的面積

(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.

解(1)設(shè)橢圓G的方程為：　 ()半焦距為c;

　 　則 , 解得 ,

　 　所求橢圓G的方程為：. 　　　　　　　

(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為

(3)若，由可知點(diǎn)(6，0)在圓外，

　 若，由可知點(diǎn)(-6，0)在圓外；

　 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.

39.(2009年上海卷理)已知、是橢圓(＞＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=____________. 　　　　　　　

[解析]依題意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，

故有b＝3。

[答案]3

38.(2009湖南卷理)已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60 ，則雙曲線C的離心率為 　　　　　.

[解析]連虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩邊直角分別是是虛半軸長，是焦半距，且一個(gè)內(nèi)角是，即得，所以，所以，離心率_.

[答案]

37.(2009寧夏海南卷文)已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為 　　　　　　　　。

[解析]設(shè)拋物線為y²＝kx，與y＝x聯(lián)立方程組，消去y，

得：x²－kx＝0，＝k＝2×2，故.

[答案]

36.(2009遼寧卷理)以知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解析]注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),

　 于是由雙曲線性質(zhì)|PF|－|PF’|＝2a＝4

　 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5

　 兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

[答案]9