(三)解答題
13、要使不等式
≤
對(duì)所有正數(shù)x，y都成立，試問k的最小值是多少？
14、解關(guān)于x的不等式
15、已知a≠0，求證：
≥
16、已知不等式
對(duì)n∈N+都成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
17、若a是正實(shí)數(shù)，2a2+3b2=10，求
的最值。
18、商店經(jīng)銷某商品，年銷售量為D件，每件商品庫存費(fèi)用為I元，每批進(jìn)貨量為Q件，每次進(jìn)貨所需費(fèi)用為S元，現(xiàn)假定商店在賣完該貨物時(shí)立即進(jìn)貨，使庫存量平均為
件，問每批進(jìn)貨量Q為多大時(shí)，整個(gè)費(fèi)用最��？
(二)填空題
9、設(shè)a>0，b>0，a，b是常數(shù)，則當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)=
的最小值是______。
10、周長為
的直角三角形面積的最大值為__________。
11、記S=
，則S與1的大小關(guān)系是__________。
12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集為__________。
(一)選擇題
1、“a>0且b>0”是“
≥
”的
A、充分而非必要條件 B、必要而非充要條件
C、充要條件 D、既非充分又非必要條件
2、設(shè)a<0，則關(guān)于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集為
A、(
) B、(
) C、(
) D、φ
3、若0<a<b且a+b=1，則四個(gè)數(shù)
，b，2ab，a2+b2中最大的是
A、 B、b
C、2ab
D、a2+b2
4、已知x>0，f(x)=
，則
A、f(x)≤2 B、f(x)≥10 C、f(x)≥6 D、f(x)≤3
5、已知
，
(a>2)，則
A、 p>q B、p<q C、p≥q D、p≤q
6、若|a-c|<h， |b-c|<h，則下列不等式一定成立的是
A、 |a-b|<2h B、|a-b|>2h C、|a-b|<h D、|a-b|>h
7、關(guān)于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A、 (-∞，-8]∪[0，+∞) B、(-∞，-4)
B、 [-8，4) D、(-∞，-8]
8、若a>0，b>0，且2a+b=1，則S=2-4a2-b2的最大值是
A、 
B、
C、
D、
例1、 已知f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，試求f(3)的取值范圍。
分析：
從條件和結(jié)論相互化歸的角度看，用f(1)，f(2)的線性組合來表示f(3)，再利用不等式的性質(zhì)求解。
設(shè)f(3)=mf(1)+nf(2)
∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c)
∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c
∴ 
∴ 
∴ f(3)=
∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5
∴ 
≤
≤
,
≤
≤
∴ -1≤f(3)≤20
說明：
1、本題也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=
[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，達(dá)到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。
2、本題典型錯(cuò)誤是從-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范圍，然后再用不等式的運(yùn)算性質(zhì)求f(3)=9a-c的范圍。錯(cuò)誤的原因是多次運(yùn)用不等式的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，不等式之間出現(xiàn)了不等價(jià)變形。
2、本題還可用線性規(guī)劃知識(shí)求解。
例2、 設(shè)a>0，b>0，求證：
≥
。
分析：
法一：比差法，當(dāng)不等式是代數(shù)不等式時(shí)，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。
左-右=
≥0
∴ 左≥右
法二：基本不等式
根據(jù)不等號(hào)的方向應(yīng)自左向右進(jìn)行縮小，為了出現(xiàn)右邊的整式形式，用配方的技巧。
∵ 
≥
≥
∴ 兩式相加得：≥
例3、 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0<a<1，求證：
≤
。
分析：
∵ 
≥
，
≤
，0<a<1
∴ 
≥
∴ ≥
∴ ≤
說明：本題在放縮過程中，利用了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)知識(shí)與不等式是緊密相連的。
例4、已知a，b為正常數(shù)，x，y為正實(shí)數(shù)，且
，求x+y的最小值。
分析：
法一：直接利用基本不等式：
≥
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)等號(hào)成立
說明：為了使得等號(hào)成立，本題利用了“1”的逆代換。
法二：消元為一元函數(shù)
途徑一：由得
∴ 
∵ x>0，y>0，a>0
∴ 由
>0得y-b>0
∴ x+y≥
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)，等號(hào)成立
途徑二：令
，
，
∈(0，
)
∴ 
，
∴ x+y=
≥
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，等號(hào)成立
說明：本題從代數(shù)消元或三角換元兩種途徑起到了消元作用。
例5、已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b
(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；
(2)當(dāng)不等式f(x)>0的解集為(-1，3)時(shí)，求實(shí)數(shù)a，b的值。
分析：
(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3
∵ f(1)>0
∴ a2-6a+3-b<0
△=24+4b
當(dāng)b≤-6時(shí)，△≤0
∴ f(1)>0的解集為φ；
當(dāng)b>-6時(shí)，
∴ f(1)>0的解集為
(2)∵ 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集為(-1，3)
∴ f(x)>0與不等式(x+1)(x-3)<0同解
∵ 3x2-a(6-a)x-b<0解集為(-1，3)
∴ 
解之得
例6、設(shè)a，b∈R，關(guān)于x方程x2+ax+b=0的實(shí)根為α，β，若|a|+|b|<1，求證：
|α|<1，|β|<1。
解題思路分析：
在不等式、方程、函數(shù)的綜合題中，通常以函數(shù)為中心。
法一：令f(x)=x2+ax+b
則 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0
f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0
又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1
∴ -1<a<1
∴ 
∴ f(x)=0的兩根在(-1，1)內(nèi)，即|α|<1，|β|<1
法二：∵α+β=-a，αβ=b
∴ |α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1
∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1
∴(|α|-1)(|β|+1)<0
∵ |β|+1>0
∴ |α|<1
同理：|β|<1
說明：對(duì)絕對(duì)值不等式的處理技巧是適度放縮，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的選擇等。
例7、某人乘坐出租車從A地到乙地，有兩種方案：第一種方案，乘起步價(jià)為10元，每km價(jià)1.2元的出租車；第二種方案，乘起步價(jià)為8元，每km價(jià)1.4元的出租車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號(hào)的出租車行駛的里路是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較適合？
分析：
設(shè)A地到B地距離為mkm，起步價(jià)內(nèi)行駛的路為akm
顯然，當(dāng)m≤a時(shí)，選起步價(jià)為8元的出租車比較合適
當(dāng)m>a時(shí)，設(shè)m=a+x(x>0)，乘坐起步價(jià)為10元的出租車費(fèi)用為P(x)元，乘坐起步價(jià)為8元的出租車費(fèi)用為Q(x)元，則P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x
∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)
∴ 當(dāng)x>0時(shí)，P(x)<Q(x)，此時(shí)起步價(jià)為10元的出租車比較合適
當(dāng)x<10時(shí)，P(x)>Q(x)，此時(shí)選起步價(jià)為8元的出租車比較合適
當(dāng)x=10時(shí)，此時(shí)兩種出租車任選
同步練習(xí)
5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當(dāng)善于發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。
研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。
4、 不等式的解法：
解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。
一元二次不等式(組)是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。利用序軸標(biāo)根法可以解分式及高次不等式。
含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。
3、不等式的證明：
(1)不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；
(2)在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用；
(3)證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。
2、均值不等式；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，該不等式可推廣為a2+b2≥2|ab|；或變形為|ab|≤
；
當(dāng)a，b≥0時(shí)，a+b≥
或ab≤
.
在具體條件下選擇適當(dāng)?shù)男问健?/p>
1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。不等式的基本性質(zhì)有：
(1)對(duì)稱性或反身性：a>b
b<a；
(2)傳遞性：若a>b，b>c，則a>c；
(3)可加性：a>b
a+c>b+c，此法則又稱為移項(xiàng)法則；
(4)可乘性：a>b，當(dāng)c>0時(shí)，ac>bc；當(dāng)c<0時(shí)，ac<bc。
不等式運(yùn)算性質(zhì)：
(1)同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d；
(2)正數(shù)同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。
特例：(3)乘方法則：若a>b>0，n∈N+，則
；
(4)開方法則：若a>b>0，n∈N+，則
；
(5)倒數(shù)法則：若ab>0，a>b，則
。
掌握不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意：
(1)條件與結(jié)論間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如是“”符號(hào)還是“”符號(hào)；
(2)不等式性質(zhì)的重點(diǎn)是不等號(hào)方向，條件與不等號(hào)方向是緊密相連的。
4、不等式的應(yīng)用。
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