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5. 4名男生5名女生，一共9名實習生分配到高一的四個班級擔任見習班主任，每班至少有男、女實習生各1名的不同分配方案共有多少種？

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4.一個五棱柱的任意兩個側(cè)面都不平行，且底面內(nèi)的任意一條對角線與另一底面的邊也不平行，以它的頂點為頂點的四面體有多少個？

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3．有5雙不同型號的皮鞋，從中任取4只有多少種不同的取法？所取的4只中沒有2只是同型號的取法有多少種？所取的4只中有一雙是同型號的取法有多少種？

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2. 在7名運動員中選出4人組成接力隊，參加4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？

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1．某一天的課程表要排入語文、數(shù)學、英語、物理、體育、音樂6節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，一共有多少種不同的排法？

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[例1] 10個人走進只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？

錯解：10個人坐6把不同的椅子，相當于10個元素到6個元素的映射，故有種不同的坐法.

錯因:　沒弄清題意，題中要求每把椅子必須并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本題事實上是一個排列問題.

正解：　坐在椅子上的6個人是走進屋子的10個人中的任意6個人，若把人抽象地看成元素，將6把不同的椅子當成不同的位置，則原問題抽象為從10個元素中作取6個元素占據(jù)6個不同的位置.顯然是從10個元素中任取6個元素的排列問題.從而，共有＝151200種坐法.

[例2]從－3，－2，－1,0，1,2，3，4八個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù) 的系數(shù)，b，c的取值，問共能組成多少個不同的二次函數(shù)？

錯解：從八個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù) 的系數(shù)，b，c的取值，交換，b，c的具體取值，得到的二次函數(shù)就不同，因而本題是個排列問題，故能組成個不同的二次函數(shù).

錯因:　忽視了二次函數(shù) 的二次項系數(shù)不能為零.

正解：，b，c中不含0時，有個；

　，b，c中含有0時，有2個.

　故共有+2＝294個不同的二次函數(shù).

注：本題也可用間接解法.共可構(gòu)成個函數(shù)，其中＝0時有個均不符合要求，從而共有－＝294個不同的二次函數(shù).

[例3]以三棱柱的頂點為頂點共可組成多少個不同的三棱錐？

錯解：按照上底面取出點的個數(shù)分三類：第一類，上底面恰取一點，這時下底面取三點，有＝3個；第二類，上底面恰取2點，下底面也取兩點，有＝9個；上底面取3點時，下底面取一點，有＝3個.綜上知，共可組成3+9+3＝15個不同的三棱錐.

錯因:　在上述解法中，第二類情形時，所取四點有可能共面.這時，務必注意在上底面取2點，與之對應的下底面的2點只有2種取法.

正解：在三棱柱的六個頂點中任取4個頂點有＝15取法，其中側(cè)面上的四點不能構(gòu)成三棱錐，故有15－3＝12個不同的三棱錐.

[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分別回答下列問題：

(1)男生必須排在一起的坐法有多少種？

(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？

(3)男生相鄰、女生也相鄰的坐法有多少種？

(4)男女生相間的坐法有多少種？

(5)女生順序已定的坐法有多少種？

解：⑴從整體出發(fā)，視四名男生為一整體，看成一個“大元素”，與三名女生共四個元素進行排列，有種坐法；而大元素內(nèi)部的小元素間又有種坐法.故共有＝576種坐法.

⑵因為女生　互不相鄰，故先將4名男生排好，有種排法；然后在男生之間及其首尾的5個空檔中插入3名女生，有種排法.故共有＝1440種排法.

⑶類似(1)可得：＝288種

⑷男生排好后，要保證男生互不相鄰、女生也互不相鄰，3名女生只能排在男生之間的3個空檔中，有種排法.故共有＝144種排法.

⑸7個元素的全排列有種，因為女生定序，而她們的順序不固定時有排法，可知

中重復了次，故共有÷＝＝840種排法.

本題還可這樣考慮：讓男生先占7個位置中的4個，共有種排法；余下的位置排女生，因為女生定序，故她們只有1排法，從而共有＝840種排法.

[例5] 某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車均多于4輛，現(xiàn)從這個車隊中抽調(diào)出10輛車，并且每個車隊至少抽調(diào)一輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？

解：在每個車隊抽調(diào)一輛車的基礎上，還須抽調(diào)的3輛車可分成三類：從一個車隊中抽調(diào)，有＝7種；從兩個車隊中抽調(diào)，一個車隊抽1輛，另一個車隊抽兩輛，有＝42種；從三個車隊中抽調(diào)，每個車隊抽調(diào)一輛，有＝35輛.由分類計數(shù)原理知，共有7+42+35＝84種抽調(diào)方法.

本題可用檔板法來解決：由于每個車隊的車均多于4輛，只需將10個份額分成7份.具體來講，相當于將10個相同的小球，放在7個不同的盒子中，且每個盒子均不空.可將10個小球排成一排，在相互之間的九個空檔中插入6個檔板，即可將小球分成7份，因而有＝84種抽調(diào)方法.

[例6]用0,1，2，…，9這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，若千位數(shù)字與個位數(shù)字之差的絕對值是2，則這樣的四位數(shù)共有多少個？

解：若千位數(shù)字與個位數(shù)字中有一個為0 ，則另一個為2，且0只能在個位，2在千位，這樣有四位數(shù)有個.若千位與個位都不含有0，則應為1與3、2與4，3與5、4與6,5與7、6與8,7與9，這樣的四位數(shù)有7××個.

∴共有+7×＝840個符合條件的四位數(shù)

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6．解排列與組合應用題時，首先應抓住是排列問題還是組合問題.界定排列與組合問題是排列還是組合，唯一的標準是“順序”，有序是排列問題，無序是組合問題.當排列與組合問題綜合到一起時，一般采用先考慮組合后考慮排列的方法解答.其次要搞清需要分類，還是需要分步.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是關于計數(shù)的兩個基本原理，它們不僅是推導排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的基礎，而且其應用貫穿于排列與組合的始終.學好兩個計數(shù)原理是解決排列與組合應用題的基礎.切記：排組分清(有序排列、無序組合)，加乘明確(分類為加、分步為乘).

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5．排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系：

①根據(jù)排列與組合的定義，前者是從n個不同元素中取出m個不同元素后，還要按照一定的順序排成一列，而后者只要從n個不同元素中取出m個不同元素并成一組，所以區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題.也就是說排列與選取元素的順序有關，組合與選取元素的順序無關.

②排列與組合的共同點，就是都要“從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素”，而不同點在于元素取出以后，是“排成一排”，還是“組成一組”，其實質(zhì)就是取出的元素是否存在順序上的差異.因此，區(qū)分排列問題和組合問題的主要標志是：是否與元素的排列順序有關，有順序的是排列問題，無順序的組合問題.例如123和321,132是不同的排列，但它們都是相同的組合.再如兩人互寄一次信是排列問題，互握一次手則是組合問題.

③排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系.求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分為以下兩步：第一步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù).根據(jù)分步計數(shù)原理，得到＝.從這一過程中可得出排列與組合的另一重要聯(lián)系.從而，在解決排列問題時，先取后排是一個常見的解題策略.