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1．化簡：

試題詳情

3.注意區(qū)分展開式“第+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第+1項(xiàng)的系數(shù)”.

[例5]已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為24，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)的最小值.

解：解法一　由中含項(xiàng)的系數(shù)為24，可得

　.從而，.

設(shè)中含項(xiàng)的系數(shù)為t，則

　t＝.

把代入上式，得

　t＝.

∴當(dāng)n＝6時(shí)，t的最小值為120，此時(shí)m＝n＝6.

解法二　由已知，

設(shè)中含項(xiàng)的系數(shù)為t，則

t＝≥2＝2(72－12)＝120.

當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝6時(shí)，t有最小值120.

∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)的最小值為120.

評注：構(gòu)造函數(shù)法是一種常用的方法，尤其在求最值問題中應(yīng)用非常廣泛.

試題詳情

[例1]已知，

　求的值.

錯(cuò)解：由二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)可知：的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，顯然，就是展開式中的，因此的值為－1.

錯(cuò)因：上述解答忽略了是項(xiàng)的系數(shù)，而不是二項(xiàng)式系數(shù).

正解：由二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特征，是項(xiàng)的系數(shù)，而不是二項(xiàng)式系數(shù).觀察式子特征，如果＝1，則等式右邊為，出現(xiàn)所求式子的形式，而就是展開式中的，因此，即

1＝1+，所以，＝0

評注　這是二項(xiàng)式定理的一個(gè)典型應(yīng)用-賦值法，在使用賦值法時(shí)，令、b等于多少，應(yīng)就具體問題而定，有時(shí)取“1”，有時(shí)取“－1”，或其他值.

[例2]在多項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為　　　.

錯(cuò)解：原式＝＝　

∴項(xiàng)的系數(shù)為0.

錯(cuò)因：忽視了n的范圍，上述解法得出的結(jié)果是在n不等于6的前提下得到的，而這個(gè)條件并沒有提供.

正解：原式＝＝　

∴當(dāng)n≠6時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為0.

　當(dāng)n＝6時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為1

說明：本解法體現(xiàn)了逆向運(yùn)用二項(xiàng)式定理的靈活性，應(yīng)注意原式中對照二項(xiàng)式定理缺少這一項(xiàng).

[例3] 的末尾連續(xù)零的個(gè)數(shù)是　　 (　　　 )

　A．7　　　　　 B．5　　　　　 C．3　　　　　　 D．2

解：

上述展開式中，最后一項(xiàng)為1；倒數(shù)第二項(xiàng)為1000；倒數(shù)第三項(xiàng)為495000，末尾有三個(gè)0；倒數(shù)第四項(xiàng)為16170000，末尾有四個(gè)0；依次前面各項(xiàng)末尾至少有四個(gè)0.所以的末尾連續(xù)零的個(gè)數(shù)是3.　　故選C.

[例4] 　已知的展開式前三項(xiàng)中的的系數(shù)成等差數(shù)列.

　(1)求展開式中所有的的有理項(xiàng)；

　(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

解：(1)展開式前三項(xiàng)的系數(shù)分別為

由題設(shè)可知：

　　解得：n＝8或n＝1(舍去).

　當(dāng)n＝8時(shí)，＝.

　據(jù)題意，4－必為整數(shù)，從而可知必為4的倍數(shù)，

而0≤≤8，∴＝0,4，8.

　故的有理項(xiàng)為：，，.

(2)設(shè)第+1項(xiàng)的系數(shù)最大，顯然＞0，

故有≥1且≤1.

∵＝，

由≥1，得≤3.

∵＝，

由≤1，得≥2.

　∴＝2或＝3，所求項(xiàng)分別為和.

評注：1.把握住二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵，除通項(xiàng)公式外，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì).

2.運(yùn)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開的特定項(xiàng)，如求某一項(xiàng)，含某次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是運(yùn)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系).

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4．二項(xiàng)式奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和等于二項(xiàng)式偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.即

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3．二項(xiàng)式定理的特殊表示形式

(1).

　這時(shí)通項(xiàng)是＝.

(2).

　這時(shí)通項(xiàng)是＝.

(3).

　　即各二項(xiàng)式系數(shù)的和為.

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2．對二項(xiàng)式定理的理解和掌握，要從項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項(xiàng)等方面的特征去熟悉它的展開式.通項(xiàng)公式＝在解題時(shí)應(yīng)用較多，因而顯得尤其重要，但必須注意，它是的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng).

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1．二項(xiàng)式定理是代數(shù)公式

　和

　的概括和推廣，它是以乘法公式為基礎(chǔ)，以組合知識為工具，用不完全歸納法得到的.同學(xué)們可對定理的證明不作要求，但定理的內(nèi)容必須充分理解.

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2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

　(1)對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式得到.　

　(2)增減性與最大值. 二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)r＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值.