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31.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是。

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值.

解析　　 (I)由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

聯(lián)立①②，解得.

所以函數(shù)的解析式為　　 …………………………………4分

(II)因?yàn)?sub>

令

當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由，得.

①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值

②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在時(shí)，函數(shù)有極值；

當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；

　 …………………………………12分

30.(2009湖北卷理)(本小題滿分14分) (注意：在試題卷上作答無效)

　　 在R上定義運(yùn)算(b、c為實(shí)常數(shù))。記，，.令.　　

如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值；

求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；

記的最大值為.若對任意的b、c恒成立，試示的最大值。

　　　　　　 解　　　　　　　 當(dāng)得對稱軸x=b位于區(qū)間之外　 　　

此時(shí)

由　　　　　　　　　

①若

于是

①若，則，

于是

綜上，對任意的b、c都有

而當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上的最大值 　　　

故對任意的b，c恒成立的k的最大值為　　　　　　　　　

28.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)曲線處的切線斜率

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅲ)已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，且。若對任意的

，恒成立，求m的取值范圍。

答案　 (1)1(2)在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=

函數(shù)在處取得極小值，且=

解析　　 解析　　 當(dāng)

所以曲線處的切線斜率為1. 　　　

(2)解析　　 ，令，得到

因?yàn)?sub>

當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極小值		極大值

在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。

函數(shù)在處取得極大值，且=

函數(shù)在處取得極小值，且=

(3)解析　　 由題設(shè)，

所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得

因?yàn)?sub>

若，而，不合題意

若則對任意的有

則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得 　　　

綜上，m的取值范圍是

[考點(diǎn)定位]本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。

27.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；　　　　　　

(1)若，求不等式的解集．

解析　　 　(1), 由,得 .

因?yàn)?當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),；

所以的單調(diào)增區(qū)間是:； 單調(diào)減區(qū)間是: .

(2)由　 ,

　得：.　

故：當(dāng) 時(shí), 解集是：；

當(dāng) 時(shí)，解集是： ；

當(dāng) 時(shí), 解集是：.　　　　　　

26.(2009江西卷文)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)．　　　　　

(1)對于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；

(2)若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．　　　　　

解析　　 (1) ,

　 因?yàn)?sub>,, 即 恒成立,

　 所以 , 得，即的最大值為

　 (2)　 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;

　 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ; 　　　　　　

　 當(dāng)時(shí),取極小值 ;

　 故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 或.

25.(2009安徽卷文)(本小題滿分14分)

　 已知函數(shù)，a＞0，　 　　　　　　

(Ⅰ)討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)。

[思路]由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時(shí)要注意對參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問就根據(jù)第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù)在上的值域。

解析　　 (1)由于

令 　　　　　

①當(dāng),即時(shí), 恒成立.

在(－∞,0)及(0,+∞)上都是增函數(shù).

②當(dāng),即時(shí)　 　　

由得或 　　　　　

或或

又由得

綜上①當(dāng)時(shí), 在上都是增函數(shù).

②當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù), 　　　

在上都是增函數(shù).

(2)當(dāng)時(shí),由(1)知在上是減函數(shù).

在上是增函數(shù).

又 　　　

函數(shù)在上的值域?yàn)?sub> 　　　　　

24.(2009安徽卷理)(本小題滿分12分)

　 已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.

本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力。本小題滿分12分。

解析　　 的定義域是(0,+), 　　　

設(shè),二次方程的判別式.

當(dāng)，即時(shí)，對一切都有,此時(shí)在上是增函數(shù)。

①當(dāng),即時(shí)，僅對有,對其余的都有

,此時(shí)在上也是增函數(shù)。 　　　　

①　　 當(dāng)，即時(shí)，

方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,.

	+	0	_	0	+
	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增

此時(shí)在上單調(diào)遞增, 在是上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

23.(2009廣東卷理)(本小題滿分14分)

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．

(1)若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；

(2)如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)． 　　　　　　

解析　　 (1)依題可設(shè) ()，則；

　 又的圖像與直線平行　 　　　

　 ， ，　

設(shè)，則 　　　

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值

當(dāng)時(shí)，　 解得

當(dāng)時(shí)，　 解得

　(2)由()，得　

當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，方程有二解，

若，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即

；

若，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；

當(dāng)時(shí)，方程有一解,　 ,

函數(shù)有一零點(diǎn)

綜上，當(dāng)時(shí), 函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)()，或()時(shí)，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn).

22.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a>1

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍�！� 　　

解析　　 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。

解析　　 (I) 　　　

　由知，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是減函數(shù)；

　當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)。

　 綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。

　(II)由(I)知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值。

由假設(shè)知　 　　

　　　　　　 即　　 解得　 1<a<6

故的取值范圍是(1，6)

22.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

　　　 已知函數(shù),其中 　　　

(1)當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?

(2)已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,　 此時(shí)方程的根為

,,

所以 　　　

當(dāng)時(shí),

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)時(shí), 　　　

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

綜上,當(dāng)滿足時(shí), 取得極值. 　　　

(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

設(shè),,

令得或(舍去), 　　　

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),

所以當(dāng)時(shí),取得最大,最大值為.

所以

當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)最大,最大值為,所以

綜上,當(dāng)時(shí), ;　　 當(dāng)時(shí), 　　　

[命題立意]:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.