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11.(2008·海南、寧夏，21，(1)(3)問(wèn))設(shè)函數(shù)f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y=3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

(1)解　 f′(x)=a-,

于是

解得或

因?yàn)閍,b∈Z,故f(x)=x+.

(2)證明　 在曲線上任取一點(diǎn)(x₀,x₀+),

由f′(x₀)=1-知,過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

y-=(x-x₀).

令x=1,得y=,

切線與直線x=1的交點(diǎn)為;

令y=x,得y=2x₀-1,

切線與直線y=x的交點(diǎn)為(2x₀-1,2x₀-1);

直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1,1),

從而所圍三角形的面積為

|2x₀-1-1|=|2x₀-2|=2.

所以,所圍三角形的面積為定值2.

10.求曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離.

解　 設(shè)曲線上過(guò)點(diǎn)P(x₀,y₀)的切線平行于直線2x-y+3=0，即斜率是2，則y′|=

=|==2.

解得x₀=1,所以y₀=0,即點(diǎn)P(1，0)，

點(diǎn)P到直線2x-y+3=0的距離為,

∴曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是.

9.求下列函數(shù)在x=x₀處的導(dǎo)數(shù).

(1)f(x)=cosx·sin²x+cos³x，x₀=；

(2)f(x)=，x₀=2；

(3)f(x)=，x₀=1.

解　 (1)∵f′(x)=［cosx(sin²x+cos²x)］′

=(cosx)′=-sinx,

∴f′()=-.

(2)∵f′(x)=

=

=,∴f′(2)=0.

(3)∵f′(x)=(x)′-x′+(lnx)′=-x-1+,

∴f′(1)=- .

8.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=-x(x+1),則函數(shù)g(x)=f(log_ax)(0＜a＜1)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　　 .

答案　

7.曲線y=和y=x²在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是　　　 .

答案　

6.已知曲線S:y=3x-x³及點(diǎn)P(2，2)，則過(guò)點(diǎn)P可向S引切線，其切線共有　　　　 條.

答案　 3

5.(2009·徐州六縣一區(qū)聯(lián)考)若曲線f(x)=x⁴-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　 .

答案　 (1，0)

4.曲線y=x³-2x²-4x+2在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是　　　　 .

答案　 　5x+y-2=0

3.若點(diǎn)P在曲線y=x³-3x²+(3-)x+上移動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是　　　　　　 .

答案　

2.(2008·全國(guó)Ⅰ理，7)設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3，2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=　　　　　 .

答案　 -2