2、豎直面內(nèi)圓周運動
(1) 繩(單軌，無支撐)：
繩只能給物體施加拉力，而不能有支持力。
這種情況下有
所以小球通過最高點的條件是
，通過最高點的臨界速度
當
(實際上小球還沒滑到最高點就脫離了軌道)。
例1如圖所示，小球以初速度為v0從光滑斜面底部向上滑，恰能到達最大高度為h的斜面頂部。右圖中A是內(nèi)軌半徑大于h的光滑軌道、B是內(nèi)軌半徑小于h的光滑軌道、C是內(nèi)軌半徑等于h光滑軌道、D是長為
的輕棒，其下端固定一個可隨棒繞O點向上轉(zhuǎn)動的小球。小球在底端時的初速度都為v0，則小球在以上四種情況中能到達高度h的有
(AB )
例2 如圖所示的是雜技演員表演的“水流星”．一根細長繩的一端，系著一個盛了水的容器．以繩的另一端為圓心，使容器在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動．N為圓周的最高點，M為圓周的最低點．若“水流星”通過最低點時的速度
．則下列判斷正確的是( )
A．“水流星”到最高點時的速度為零
B．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出
C．“水流星”通過最高點時，水對容器底沒有壓力
D．“水流星”通過最高點時，繩對容器有向下的拉力
解析：假設(shè)水能夠通過最高點，則到達到最高點時的速度設(shè)為v1，由機械能守恒定律得：
，得
，而當容器恰好能上升到最高點時的臨界條件，此時水對容器的壓力為0時，C正確．
[答案]C
(2)桿(雙軌，有支撐)：對物體既可以有拉力，也可以有支持力，如圖2所示。
①過最高點的臨界條件：
。
②在最高點，如果小球的重力恰好提供其做圓周運動的向心力，即
，
，桿或軌道內(nèi)壁對小球沒有力的作用。
當0<
時,小球受到重力和桿對球的支持力(或軌道內(nèi)壁下側(cè)對球的向上的支持力)，此二力的合力提供向心力；
當
時，小球受到重力和桿向下的拉力(或軌道內(nèi)壁上側(cè)對球豎直向下的壓力)，這二力的合力提供向心力。
因此，是小球在最高點受到桿的拉力還是支持力的分界速度，是受到軌道內(nèi)壁下側(cè)的彈力還是內(nèi)壁上側(cè)的彈力的分界速度。
例 (04全國卷Ⅲ
20)如圖所示,輕桿的一端有一個小球,另一端有光滑的固定軸O,現(xiàn)給球一初速度,使球和桿一起繞O軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動,不計空氣阻力,用F表示球到達最高點時桿對小球的作用力,則F
( )
A.一定是拉力 B.一定是推力
C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
答案?D
解析 最高點球受重力mg與桿的作用力F,由牛頓第二定律知mg+F=ma向=m
(v為球在最高點的速度,R為球做圓周運動的半徑)當v=
時,F=0；當v>時,F>0,即拉力；當v<時,F<0,即推力.故D對.
解析 本題是物體在豎直面內(nèi)圓周運動的典型模型――輕桿模型(有支撐的情況)，桿可以對物體有拉力，也可以有推力，對物體的彈力還可以為零，答案D。
[答案]D
(3)外軌(單軌，有支撐)，只能給物體支持力，而不能有拉力。
有支撐的小球，但彈力只可能向上，如車過橋．在這種情況下有： 
，否則車將離開橋面，做平拋運動．
例 如圖所示，小物塊位于半徑為R的半球形物體頂端，若給小物塊一水平速度
，則物塊 ( )
A．立即做平拋運動 B．落地時水平位移為
C．落地速度大小為2
D．落地時速度方向與地面成45°角
解析：物體恰好不受軌道的支持力的情況下(物體在最高點做圓周運動)的臨界條件是，最高點速度為，因為＞，所以物體將從最高點開始做平拋運動，A正確；由平拋運動的規(guī)律可得：R＝
，x=v0t，所以可得x=2R，B答案正確；落地時豎直分速度
，合速度
，其方向與地面成45°角，CD正確．
[答案]ACD．
由③⑥兩式，消去t，可得到平拋運動的軌跡方程為
。
可見，平拋物體運動的軌跡是一條拋物線。
(2)一個有用的推論：平拋物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點到拋出點的距離都等于水平位移的一半。
證明：設(shè)物體被拋出后ts末時刻，物體的位置為P，其坐標為xt(ts內(nèi)的水平位移)和yt(ts內(nèi)的下落高度)；ts末的速度vt的坐標分量為vx、vy，將vt速度反向延長交x軸于x＇，如圖：
則
由幾何關(guān)系可知：
，即
整理得：
，∴
。
可見，平拋運動物體某時刻的速度反向延長線交x軸坐標值為此時Ox方向位移的一半。
(3)因平拋運動在豎直方向是勻變速直線運動，所以適合于研究勻變速運動的公式，如Δs=aT2，
等同樣也適用于研究平拋運動豎直方向的運動特點，這一點在研究平拋物體運動的實驗中用得較多。
(4)類平拋運動：凡具有合外力恒定且合外力垂直于初速度特征的曲線運動叫類平拋運動。
此物體所做的運動可看成是某一方向的勻速直線運動和垂直此方向的勻加速直線運動，這類運動在電場中會涉及，處理方法與平拋運動類似。
圓周運動
1、勻速圓周運動
物體做勻速圓周運動必須具備兩個條件：一是有初速度；二是其所受合力大小不變，方向始終與速度方向垂直而指向圓心。
由于物體所受合力大小不變，方向改變，指向圓心，稱之向心力，則物體加速度大小不變。
，
方向改變，指向圓心，稱之向心加速度，其作用是只改變線速度方向，不能改變線速度大小。由于加速度不恒定，所以勻速圓周運動是非勻變速曲線運動�！ � 星體運動是勻速圓周運動的特例。是星體間的萬有引力“充當”圓運動的向心力。
(1)運動特點：軌跡是圓，速率不變。速度方向變化，即加速度方向指向圓心，加速度大小不變。根據(jù)牛頓第二定律，做勻速圓周運動的物體所受合力必指向圓心，永遠與線速度方向垂直，其大小保持不變。勻速圓周運動屬于變加速曲線運動。
(2)描述勻速圓周運動的物理量
轉(zhuǎn)數(shù)n、頻率f、周期T(轉(zhuǎn)數(shù)也叫轉(zhuǎn)速)如果時間以秒為單位則轉(zhuǎn)速等于頻率n=f，
。
角速度
線速度v 
線速度與角速度之間的關(guān)系：
，這是一個重要公式。
向心加速度和向心力：
應(yīng)該注意向心力不是性質(zhì)力，而是效果力。重力、彈力、摩擦力、萬有引力、電場力、磁場力……等等，任何一種性質(zhì)力或幾個性質(zhì)力的合力、分力等等，只要它的效果是使質(zhì)點產(chǎn)生向心加速度的，它就是向心力。
研究圓周運動，找出向心力是關(guān)鍵性的一步：
對勻速圓周運動來說，質(zhì)點所受的所有力的合力充當向心力，對非勻速圓周運動來說，沿著半徑方向的合力充當向心力，切線方向的合力改變速度大小。
(二)從動力學的角度分析 對于平拋運動的物體只受重力作用，盡管其速度大小和方向時刻在改變，但其運動的加速度卻恒為重力加速度g，因而平拋運動是一種勻變速曲線運動。
平拋運動中，由于僅有重力對物體做功，因而若把此物體和地球看作一個系統(tǒng)，則在運動過程中，系統(tǒng)每時每刻都遵循機械能守恒定律。應(yīng)用機械能守恒定律分析、處理此類問題，往往比單用運動學公式方便、簡單得多。
知識要點：
平拋運動
(一)從運動學的角度分析
平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，以物體的出發(fā)點為原點，沿水平和豎直方向建立xOy坐標，如圖所示：
則水平方向和豎直方向的分運動分別為
水平方向
豎直方向
平拋物體在時間t內(nèi)的位移s可由③⑥兩式推得
位移的方向與水平方向的夾角
由下式?jīng)Q定
平拋物體經(jīng)時間t時的瞬時速度vt可由②⑤兩式推得
速度vt的方向與水平方向的夾角
可由下式?jīng)Q定
10.甲、乙二人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題.
(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？
分析：(1)是等可能性事件，求基本事件總數(shù)和A包含的基本事件數(shù)即可.(2)分類或間接法，先求出對立事件的概率.
解：(1)基本事件總數(shù)甲、乙依次抽一題有C
C
種，事件A包含的基本事件數(shù)為C
C
，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率為
=
.
(2)A包含的基本事件總數(shù)分三類：
甲抽到選擇題,乙抽到判斷題有CC；
甲抽到選擇題,乙也抽到選擇題有CC
;
甲抽到判斷題,乙抽到選擇題有CC.
共CC+CC+CC. 基本事件總數(shù)C
C，
∴甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為:
=
或P(
)
=
=
，P(A)=1－P()=.
[探索題]某人有5把鑰匙，一把是房門鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把.于是，他逐把不重復(fù)地試開，問：
(1)恰好第三次打開房門鎖的概率是多少？
(2)三次內(nèi)打開的概率是多少？
(3)如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開的概率是多少？
解：5把鑰匙，逐把試開有A
種等可能的結(jié)果.
(1)第三次打開房門,須把能開房門的鑰匙放在第三位,結(jié)果有A
種，因此第三次打開房門的概率P(A)=
=
.(另法
)
(2)三次內(nèi)打開房門的結(jié)果有3A種，因此，所求概率P(A)=
=
.
(3)法1：三次內(nèi)打開的結(jié)果包括：三次內(nèi)恰有一次打開的結(jié)果有C
A
AA
種；三次內(nèi)恰有2次打開的結(jié)果有A
A種.因此，三次內(nèi)打開的結(jié)果有CAAA+AA種，所求概率
P(A)=
=
.
法2:只計算三次,分只有一次打開,恰有兩次打開:
.
法3：因5把內(nèi)有2把房門鑰匙，故三次內(nèi)打不開的結(jié)果有AA
種，從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有A－AA種，所求概率P(A)=
=.
9．從男生和女生共36人的班級中任意選出2人去完成某項任務(wù)，這里任何人當選的機會都是相同的，如果選出的2人有相同性別的概率是
，求這個班級中的男生，女生各有多少人?
解： 設(shè)此班有男生n人(n∈N,n≤36)，則有女生(36-n)人，
從36人中選出有相同性別的2人，只有兩種可能，即2人全為男生，或2人全為女生.
從36人中選出有相同性別的2人，共有(Cn2+C36-n2)種選法.
因此，從36人中選出2人，這2人有相同性別的概率為
依題意，有
＝
經(jīng)過化簡、整理，可以得到
n2-36n+315＝0.
所以n＝15或n＝21，它們都符合n∈N，n<36.
答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.
8.把編號為1到6的六個小球，平均分到三個不同的盒子內(nèi)，求：
(1)每盒各有一個奇數(shù)號球的概率；
(2)有一盒全是偶數(shù)號球的概率.
解：6個球平均分入三盒有C
C
C種等可能的結(jié)果.
(1)每盒各有一個奇數(shù)號球的結(jié)果有AA種，
所求概率P(A)=
=
.
(2)有一盒全是偶數(shù)號球的結(jié)果有(CC)·CC，
所求概率P(A)=
=.
7．某產(chǎn)品中有7個正品，3個次品，每次取一只測試，取后不放回，直到3只次品全被測出為止，求經(jīng)過5次測試，3只次品恰好全被測出的概率。
解：“5次測試”相當于從10只產(chǎn)品中有序的取出5只產(chǎn)品，共有
種等可能的基本事件，“3只次品恰好全被測出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次品，共有
種，所以所求的概率為
。
5. 
; 6. P=
=
.
[解答題]
4．分母46，分子C61C52A44,所求概率為
；
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