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1、(2002年新課程卷)平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，若點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，且，則點(diǎn)的軌跡方程為(　 )

A. 　　B.

C. 　　　　D.

試題詳情

例4、已知，F(xiàn)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)BC交橢圓于B、C兩點(diǎn)，

(1)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

[答案]

(2)若相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).設(shè)()，過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線(xiàn)的直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明:.

解：(1)略

(2) 證明：.由已知得方程組

注意，解得

因，故

而，所以

[結(jié)論發(fā)散]設(shè)P()為橢圓上一點(diǎn)，

(1)求的Min

(2)求的Max

(3)當(dāng)<0時(shí)，的取值范圍。

(4)若相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A，，求

(5)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)，求的最值。

(6)已知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)，求的最小值

(7)已知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)，求的最值

　[提示] =

=2a+2a+=2a+

例5.已知A、B為拋物線(xiàn)(p>0)上兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為C、D，

(1)　　若，求拋物線(xiàn)的方程。

(2)　　 CD是否恒存在一點(diǎn)K，使得

　　　　　 F　　　 P　　

　　 D　　　　　 K　　　 C　　

解：(1)提示：記A()、B ()設(shè)直線(xiàn)AB方程為代入拋物線(xiàn)方程得

(2)設(shè)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為T(mén)，

則

＝－＝－＝0

故存在點(diǎn)K即點(diǎn)T，使得

[實(shí)質(zhì)：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切]

[結(jié)論發(fā)散1] y軸上是否恒存在一點(diǎn)K，使得

[實(shí)質(zhì)：以AF為直徑的圓與y軸相切]

[結(jié)論發(fā)散2]求證：

[結(jié)論發(fā)散3]求證：存在實(shí)數(shù)使得

[實(shí)質(zhì)：證明A、O、D三點(diǎn)共線(xiàn)(2001年高考題)]

[結(jié)論發(fā)散4] 設(shè)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為T(mén)，證明：

[題設(shè)變更1] 已知A、B為拋物線(xiàn)(p>0)上兩點(diǎn)，，點(diǎn)C坐標(biāo)為

(1)　　求證：∥

(2)若＝()且試求點(diǎn)M的軌跡方程。

[題設(shè)變更2](2004全國(guó)湖南文21)如圖，過(guò)拋物線(xiàn)x²=4y的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為，證明:；

解：依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為代入拋物線(xiàn)方程得　　

　　 ①

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、x₂是方程①的兩根.

所以　　　

由點(diǎn)P(0，m)分有向線(xiàn)段所成的比為，

得

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0，－m)，從而.

所以　

思維能力訓(xùn)練

試題詳情

例1．已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿(mǎn)足||+||=4.

(1)求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程.

(2)如果過(guò)點(diǎn)Q(0，m)且方向向量為 =(1,1) 的直線(xiàn)l與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取到最大值時(shí)，求m的值。

解：(1) =, ||=,且||+||=4.

點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(,0)，(-,0)的距離這和為4，故點(diǎn)P的軌跡方程為

(2)設(shè)A(),B()依題意直線(xiàn)AB的方程為y=x+m.代入橢圓方程，得，則+=-m, =

因此，

當(dāng)時(shí)，即m=時(shí)，

[題設(shè)變式I.1] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿(mǎn)足|||-|||=2.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程.(軌跡為雙曲線(xiàn))

[題設(shè)變式I.2] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿(mǎn)足=||.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程.

[提示：設(shè)K(-,0)，F(xiàn) (,0)，則表示在x軸上射影，即點(diǎn)P到x= -的距離，所以點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與到定直線(xiàn)x= -的距離比為1，故點(diǎn)P的軌跡是以(,0)為焦點(diǎn)以x= -為準(zhǔn)線(xiàn)拋物線(xiàn)]

[題設(shè)變式I.3] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿(mǎn)足=||.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程.

[提示：設(shè)K(-,0)，F(xiàn) (,0)，則表示在x軸上射影，即點(diǎn)P到x= -的距離，所以點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與到定直線(xiàn)x= -的距離比為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以(,0)為焦點(diǎn)，以x= -為相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以(,0)為焦點(diǎn)，以x= -為相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的右支；若想得到雙曲線(xiàn)的雙支應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？]

[題設(shè)變式I.4] 已知平面上兩定點(diǎn)K、F，P為一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程.(以F焦點(diǎn)，過(guò)K且垂直于KF的直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn))

[題設(shè)變式I.5] 已知平面上兩定點(diǎn)K、F，P為一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程.(以F焦點(diǎn)，過(guò)K且垂直于KF的直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)。)

[考題] 已知點(diǎn)A(，0)，B(，0)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

(1)若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記作曲線(xiàn)C₁_，求曲線(xiàn)C₁的方程.

(2)已知曲線(xiàn)C₁交y軸正半軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D(0，)作斜率為k的直線(xiàn)交曲線(xiàn)

C₁于M、N點(diǎn)，求證：無(wú)論k如何變化，以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q.(解答見(jiàn)附頁(yè))

[題設(shè)變式II.1] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿(mǎn)足|+|=4..求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程. (,點(diǎn)P軌跡為圓，其中A(，0)，B(－，0))

[題設(shè)變式II.2] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿(mǎn)足＝6.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程. (軌跡為圓)

例2、已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影是H，如果分別是公比q=2的等比數(shù)列的第三、第四項(xiàng).

　　 (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

　　 (2)已知過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于x軸下方兩個(gè)不同的點(diǎn)，A、B，設(shè)R為AB的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)R與定點(diǎn)Q(0，-2)的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D(x₀，0)，求x₀的取值范圍.

　　導(dǎo)析　 (1)設(shè)P(x，y)，則H(0，y)，　　　　　　　　　　　　　　

又因?yàn)?sub>所以有

所以點(diǎn)P的軌跡方程為y²-x²=4(x≠0).

　　 (2)設(shè)AB：y=k(x-2)，A(x₁y₁)，B(x₂y₂)，R(x₃y₃).

　　　　　　化簡(jiǎn)得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.

　所以

所以DQ的方程為　令y=0，得

　又由

　可得k²＞，由題意可知＜k＜1，

所以1＜＜，所以＜-()²+＜1，　所以2＜x₀＜2+.

故所求的x₀的取值范圍為(2，2+).

[題后反思]若改變q 的值能否構(gòu)造出橢圓來(lái)呢？

[當(dāng)0＜q＜1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓]

例3、如圖所示，點(diǎn)F (a，0)(a＞0)，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，M在x軸上，N為動(dòng)點(diǎn)，且　

(1)求點(diǎn)N的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F(a，0)的直線(xiàn)l(不與x軸垂直)與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)K(-a，0)，與的夾角為，求證：0＜＜.

[答案提示] (1)點(diǎn)N的軌跡C的方程為

[變化]點(diǎn)F (a，0)(a＞0)，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，M在x軸上，N為動(dòng)點(diǎn)，

且(為常數(shù))求點(diǎn)N的軌跡仍為拋物線(xiàn)嗎？；

試題詳情

10. 設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：++≥++.

證明：∵a、b、c均為實(shí)數(shù)，

∴(+)≥≥，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

(+)≥≥，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

(+)≥≥．

三個(gè)不等式相加即得++≥++，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

[探索題](1).已知a³+b³=1,求a+b的取值范圍.

　(2) 已知a>0,b>0,a+b=4,求的最小值.

解(1) 易知,否則a=－b代入a³+b³=0與已知矛盾.

令a+b=t≠0,由1=(a+b)³-3ab(a+b),得

,視a,b為方程的根,

由,得

�、�

∴①為

∴

　(2) 由4=a+b得ab≤4.

∴

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”,所求最小值為.

易錯(cuò)解:原式,最小值為8.

試題詳情

9.某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用10萬(wàn)元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年遞增，問(wèn)這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算?(即年平均費(fèi)用最少)

解:設(shè)使用x年的年平均費(fèi)用為y(萬(wàn)元)，則

y＝≥1+2＝3，