7．函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化
例11．(2009山東省濟寧市)若函數(shù)
有三個不同的零點，則實數(shù)
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
分析:本題為三次函數(shù)有三個不同的零點，則函數(shù)應(yīng)該有兩個極值點，一個極值為正，一個極值為負，所以要先求出其導數(shù)，再求其極值。
解: 由函數(shù)有三個不同的零點,則函數(shù)
有兩個極值點,且有
,得
,所以函數(shù)的兩個極值為
和
,結(jié)合圖象,應(yīng)該有
∴
,故選A
答案:A
評注:一般地對于高次函數(shù)來說，要轉(zhuǎn)化為導函數(shù)研究問題，特別是在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì)時要用導數(shù)解決。
例12．設(shè)函數(shù)
為實數(shù)。
(Ⅰ)已知函數(shù)
在
處取得極值，求的值；
(Ⅱ)已知不等式
對任意
都成立，求實數(shù)
的取值范圍。
分析：(Ⅱ)中不等式對任意都成立，可以轉(zhuǎn)化為
的不等式在都成立，從而變?yōu)?sub>的一次函數(shù)由單調(diào)性來解答；也可以將分化出來，轉(zhuǎn)化為的不等式在恒成立，研究右邊函數(shù)的最值。
解: (1)
，由于函數(shù)在時取得極值，所以 
即 
(2) 方法一： 由題設(shè)知：
對任意都成立
即
對任意都成立
設(shè) 
, 則對任意
，
為單調(diào)遞增函數(shù)
所以對任意，
恒成立的充分必要條件是
即 
，
， 于是的取值范圍是
方法二：由題設(shè)知：對任意都成立
即對任意都成立
于是
對任意都成立，即
， 于是的取值范圍是
評注：對于不等式恒成立問題，一般來說是要分化出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求右邊函數(shù)的最值問題；但有的也不容易分化，我們也可以轉(zhuǎn)換主變量，把二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可容易完成。
(湖北理)
已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)
，
，其中
．設(shè)兩曲線
，
有公共點，且在該點處的切線相同．
(I)用表示
，并求的最大值；
(II)求證：
(
)．
本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．
解：(Ⅰ)設(shè)與
在公共點
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，則
．于是
當
，即
時，
；
當
，即
時，
．
故
在
為增函數(shù)，在
為減函數(shù)，
于是在
的最大值為
．
(Ⅱ)設(shè)
，
則
．
故
在
為減函數(shù)，在
為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是
．
故當時，有
，即當時，
．
6．極坐標與參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程
例10．(2008南通四縣)(坐標系與參數(shù)方程)已知曲線C的極坐標方程是
．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是：
，求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長．
分析：本題既有參數(shù)方程又有極坐標方程，用極坐標方程和參數(shù)方程研究弦長問題很難解決，可以轉(zhuǎn)化為普通方程求出。
解：曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為
，即
直線l的參數(shù)方程
，化為普通方程為x－y－1=0，
曲線C的圓心(2，0)到直線l的距離為
所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長
=
．
評注：研究極坐標與參數(shù)方程問題可以直接研究，也可以轉(zhuǎn)化為普通方程研究，特別是在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時常常轉(zhuǎn)化為普通方程求出。
5.三視圖轉(zhuǎn)化為立體圖
例8．(2009萊陽模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形．若該幾何體的體積為V，并且可以用n這樣的幾何體拼成一個棱長為4的正方體，則V，n的值是(
)
A．
B．
C．
D．
分析：由三視圖轉(zhuǎn)化為立體圖，再做解答。
解：根據(jù)三視圖，可知此幾何體為一個如圖所示的四棱錐，其體積為
，故選B
答案：B
評注：高考題注重對立體幾何中的三視圖的考查，一般是給出幾何體的三視圖，讓我們還原為立體圖，然后求出一些幾何量。
例9．(2008山東淄博市模擬)一個幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖中△
是邊長為
的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)視圖的面積為(
)
正視圖
側(cè)視圖
俯視圖
A． 
B．
C．
D．
分析：先把三視圖還原為立體圖，再由立體圖進行解答。
解：有三視圖可知，此幾何體為正六棱錐，如圖，其中正視圖
為
，是正三角形，則
，∴底面邊長為1，側(cè)棱長為2，
則高為
，設(shè)
分別為
的中點，則
為側(cè)視圖，
，∴側(cè)視圖的面積為
，故選
。
答案：
評注：正確對待三視圖，要會還原為立體圖，找出相應(yīng)的量解出，
注意對應(yīng)的量不能出錯。
4．函數(shù)與導函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化
例6．(2008湖北卷，理7)若
上是減函數(shù)，則的取值范圍是
(
)
A. 
B. 
C. 
D.
分析：把已知條件函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上是恒負，再分化出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值問題解決。
解：∵上是減函數(shù)，∴
在
上恒成立，即
在上恒成立，設(shè)
在上單調(diào)遞增，∴
，∴當
時，在上恒成立，即上是減函數(shù)。故選C
答案：C
評注：函數(shù)的單調(diào)性通常轉(zhuǎn)化為導函數(shù)的正負判斷，而不等式恒成立又常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值問題，本題中還要注意做題的嚴密性，等號不能丟掉。
例7．(2008福建卷，理12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是( )
分析：注意觀察導函數(shù)的圖象以及原函數(shù)的圖象，并把所得到的信息轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的信息，加以排除選擇。
解：令
，則
，當
時，由圖象知
，即
，是增函數(shù)，則答案A，C錯， 當
時，
，即
，是減函數(shù)，則答案B錯，故選D．
答案：D
評注：對于由圖形給出的信息要從中提煉出來，并適當?shù)赜脭?shù)學語言表述準確，本題中的兩個函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)，進行構(gòu)造，導函數(shù)的正負轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的增減。
3．轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系
例5．(2008山東卷，文15)已知
，
則
的值等于
．
分析：本題中的函數(shù)不是以
為整體，而是以
為整體給出的解析式，所以要求函數(shù)值，需要先求關(guān)于的解析式，再代入求值。
解：∵
，∴
，
則
評注：有些題目中往往所給的解析式不是關(guān)于的解析式，這時需要我們把解析式進行轉(zhuǎn)化，本題中先把函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，然后進行運算。
2．新定義運算轉(zhuǎn)化為普通運算
例3．(2008山東省泰安市)如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．若
，
，
則A#B為(
)
A．
B．
C．
D．
分析：根據(jù)圖形語言可知定義的A#B轉(zhuǎn)化為原有的運算應(yīng)該是表示為
，所以需要求出
和
，借助數(shù)軸求出并集與交集。
解：
，
，則
，根據(jù)新運算，得A#B=
故選D
答案：D
評注：本題是集合中的新定義運算題，綜合考查了圖形語言、集合的描述法表示，函數(shù)的定義域和值域，以及集合的交并補的運算。解題的關(guān)鍵是由圖形語言把新定義運算轉(zhuǎn)化為原有的普通運算解出。
例4．(2008山東省鄆城一中)定義一種運算
，令
，且
，則函數(shù)
的最大值是( )
A．
B．1 C．
D．
分析：根據(jù)新定義，知要確定函數(shù)的解析式，需要比較
與
的大小關(guān)系，即需要求的取值范圍，另外，還要注意自變量的取值范圍，再確定的解析式，從而求出函數(shù)的最大值。
解：設(shè)
，
∵，∴
，∴
，即
，
根據(jù)新定義的運算可知
，
∴
(
)
∴函數(shù)的最大值是，故選A
答案：A
評注：解決新定義問題，首先要把定義讀懂理解透，把陌生的新內(nèi)容轉(zhuǎn)化為熟悉的已知的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上進一步研究熟悉的問題。
1. 轉(zhuǎn)化運算．
例1.若動直線
與函數(shù)
和
的圖像分別交于
兩點，則
的最大值為( )
A．1 B．
C．
D．2
分析: 動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點, 橫坐標相同，那么就是縱坐標之差，即
求最值。
解: 
最大值為
評注:審題要審準，讀懂題意，將問題學會轉(zhuǎn)化。
例2．(2008湖北卷，理14)已知函數(shù)
,等差數(shù)列
的公差為.若
,則
.
分析：題目中的已知條件很容易求得
，而所求的為
可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的前10項之和，根據(jù)公差，可以把前10項之和轉(zhuǎn)化為用表示出來，從而求得。
解：由和知
，
=
評注：仔細分析題目，把運算進行轉(zhuǎn)化，可以大大地節(jié)省時間，提高做題的效率。本題中把等差數(shù)列的前10項之和轉(zhuǎn)化為用表示出來，比較快捷，減少計算量。
[例6]數(shù)列{an}，a1=1，
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在常數(shù)
，使得數(shù)列
是等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(3)設(shè)
，
證明：當
命題意圖：數(shù)列的綜合問題主要考點是數(shù)列、導數(shù)、不等式、數(shù)學歸納法，重點是綜合、靈活運用數(shù)學知識分析、解決問題的能力，充分體現(xiàn)考生的綜合數(shù)學素質(zhì)。
解：(1)
(2)設(shè)
，
即
故
∴
又
使得數(shù)列
是等比數(shù)列
(3)證明：由(1)得
∴
，故
∵
∴
，現(xiàn)證
當n=2時，
，
故n=2時不等式成立，當
得
∵
評注：數(shù)列解答題的命題熱點是與不等式交匯,主要是呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題，其中,以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體,有著高等數(shù)學背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點,而命題的冷門則是數(shù)列的應(yīng)用性解答題.
跟蹤訓練6．(本小題滿分12分)在直角坐標平面上有一點列
對一切正整數(shù)n，點Pn在函數(shù)
的圖象上，且Pn的橫坐標構(gòu)成以
為首項，－1為公差的等差數(shù)列{xn}.
(1)求點Pn的坐標；
(2)設(shè)拋物線列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線Cn的頂點為Pn，且過點Dn(0，
).記與拋物線Cn相切于點Dn的直線的斜率為kn，求
(3)設(shè)
等差數(shù)列
的任一項
，其中
是
中的最大數(shù)，
，求數(shù)列的通項公式.
[例5]已知拋物線
，過定點
的直線
交拋物線于A、B兩點.
(Ⅰ)分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點，求證：這兩條切線的交點
在定直線
上.
(Ⅱ)當
時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關(guān)于直線對稱，弦長|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用
表示)，若不存在，請說明理由.
命題意圖：圓錐曲線的綜合問題主要考點是雙曲線、拋物線、橢圓相結(jié)合，重點是圓錐曲線
的統(tǒng)一定義，點、弦、面積、取值范圍、定值，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想。
[分析及解](Ⅰ)由
，得
，設(shè)
過點A的切線方程為：
，即
同理求得過點B的切線方程為：
∵直線PA、PB過，∴
,
∴點在直線
上，∵直線AB過定點
，
∴
，即
∴兩條切線PA、PB的交點在定直線上.
(Ⅱ) 設(shè)
，設(shè)直線的方程為：
，
則直線
的方程為：
，
，
，
①
設(shè)弦PQ的中點
，則
∵弦PQ的中點在直線上，∴
，
即
②
②代入①中，得
③
由已知，當
時，
弦長|PQ|中不存在最大值.
當
時，這時
，此時，弦長|PQ|中存在最大值，
即當
時，弦長|PQ|中的最大值為
評注：圓錐曲線的試題涉及到函數(shù)、方程、導數(shù)、不等式、三角、向量、數(shù)列等各章節(jié)的知識，常把代數(shù)、三角、向量、數(shù)列、導數(shù)等知識交匯在一起成為典型題。而求曲線方程、弦長、角、面積、最值、軌跡、參數(shù)的值或取值范圍，證明某種關(guān)系、證明定值、探索型、存在性討論等問題是�？嫉念}型，具有一定的綜合性和靈活性，計算也較復雜，需要有較強的綜合能力。解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想。
跟蹤訓練5．(本小題滿分12分)
已知橢圓C:
(a＞b＞0)，點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點P(2,
)在直線x=
上，且|F1F2|=|PF2|,直線:y=kx+m為動直線，且直線與橢圓C交于不同的兩點A、B。
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若在橢圓C上存在點Q，滿足
(O為坐標原點)，求實數(shù)
的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，當取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．
[例4]已知
(1)若
存在單調(diào)遞減區(qū)間，求
的取值范圍；
(2)若
時，求證
成立；
(3)利用(2)的結(jié)論證明：若
命題意圖：函數(shù)與導數(shù)的綜合問題主要考點是函數(shù)、導數(shù)、單調(diào)性、極值、切線、不等式，重點是三次或含自然對數(shù)的函數(shù)的導數(shù)、單調(diào)性、極值、切線、不等式(主要是恒成立、能成立或利用導數(shù)證明不等式問題)。屬高檔題的范疇，考查交匯知識綜合處理能力。解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想
[分析及解](1)
，
有單調(diào)減區(qū)間，∴
有解
，
∴
有解
①
時合題意
②
時，
，即
，
∴的范圍是
(2)設(shè)
，
，
 |
 |
0 |
 |
 |
+ |
0 |
- |
 |
 |
最大值 |
 |
∴
有最大值0，∴
恒成立
即
成立
(3)
，∴
求證成立
評注：導數(shù)是研究函數(shù)的工具，導數(shù)進入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間。所以把導數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對研究函數(shù)的目標也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對象，試題的命制往往融函數(shù)，導數(shù)，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏。通過構(gòu)造函數(shù)，以導數(shù)為工具，證明不等式，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。
跟蹤訓練4．(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)當
的單調(diào)區(qū)間和極值；
(II)若函數(shù)
在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
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