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2．(2006陜西)已知函數(shù)若則(　A　)

A.　　　 B.

　C.　　　 D.與的大小不能確定

1．( 2006年湖南)“”是“函數(shù)在區(qū)間[1, +∞)上為增函數(shù)”的(　 A　 )

A.充分不必要條件　 B.必要不充分條件　 C.充要條件　　　 D.既不充分也不必要條件

3. 如果二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍.

[解析]二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，故其對稱軸或與直線重合或位于直線的左側(cè)，于是，解之得，故，即.

能力訓(xùn)練

2.(2004廣東)設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)，且時，.

[證明]在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).由且，得且，即，.

[題型3] 函數(shù)的值域或最值

[例3](2006江蘇)設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為.

　　(1)設(shè)，求t的取值范圍，并把表示為t的函數(shù)；

(2)求g(a)；

(3)試求滿足的所有實數(shù)a.

[解析](1)∵，

∴要使有意義，必須且，即.

∵，且……①　　 ∴的取值范圍是.

由①得：，∴，.

(2)由題意知即為函數(shù)，的最大值，

∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：

(1)當(dāng)時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由知在上單調(diào)遞增，故；

(2)當(dāng)時，，，有=2；

(3)當(dāng)時，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若即時，，

若即時，，

若即時，.

綜上所述，有=.

(3)當(dāng)時，；

　　　 當(dāng)時，，，∴，

，故當(dāng)時，；

當(dāng)時，，由知：，故；

當(dāng)時，，故或，從而有或，

要使，必須有，，即，

此時，。

綜上所述，滿足的所有實數(shù)a為：或.

[點評]本題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

[變式與拓展]

1. 設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)且僅當(dāng)時，在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；

[解析]，

①當(dāng)時，∵，∴，

②當(dāng)時，由，得；

　 由得；

　 ∴當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

　 ∴當(dāng)時，在 上不是單調(diào)函數(shù).

　　　 綜上，當(dāng)且反當(dāng)時，在上為單調(diào)函數(shù).

[題型2] 利用單調(diào)性討論參數(shù)的范圍

[例2]已知函數(shù))的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.

(1)求m的值；

(2)若在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

[解析](1)設(shè)為函數(shù)圖象上一點，點關(guān)于的對稱點為，

則有，且.

∵點在上，

∴.

消去、代入，得，

整理，得，∴m=.

(2)∵，設(shè)、，且，

則對一切x₁、x₂∈(0，2］恒成立.

∴對一切、恒成立.

∴由，得．

[變式與拓展]

4.函數(shù)的最值：函數(shù)的最值是是函數(shù)值域中的特殊值，故求函數(shù)最值的方法與求值域的方法差不多，要考慮取“=”的條件是否滿足.

典例剖析

[題型1]函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

[例1]定義在上的函數(shù)，，當(dāng)時，，且對任意的、，有.

(1)求證：；　　　 (2)求證：對任意的，恒有；

(3)求證：是上的增函數(shù)； (4)若，求x的取值范圍.

[解析](1)證明：令，則，又，∴.

(2)證明：當(dāng)時，，∴，

∴f(－x)=，又時，，

∴時，恒有.

(3)證明：設(shè)，則，

∴.

∵，∴，

又，∴，

∴，∴是上的增函數(shù).

(4)解：由，，得，又是上的增函數(shù)，∴，∴.

[點評]解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是(3)中“”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.

[變式與拓展]

3.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可能是連續(xù)的，也可能是分散的，分散的單調(diào)區(qū)間中間用“，”分開，如的減區(qū)間，，不能寫成.

2.導(dǎo)數(shù)法：給定區(qū)間上的函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，對于，若，

則函數(shù)在上是增函數(shù)(或減函數(shù).

5.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：比較函數(shù)值的大小，求某些函數(shù)的值域，解證某些不等式，討論根的分布等.

教材透析

1 判斷函數(shù)單調(diào)性：

(1)定義法：給定區(qū)間上的函數(shù)，若對，且，都有

(或)則稱函數(shù)在上是增函數(shù)(或減函數(shù)).

與定義等價的判斷方法：，若

(或)，則稱函數(shù)在上是增函數(shù).

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法，導(dǎo)數(shù)法，圖像法，特殊值法(主要用于解選擇題或填空題).