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4．定義在上的奇函數(shù)的最小正周期為3，則下列關(guān)系中恒成立的是(　 B　 )

A．　　　　　　　　　　B．　

C．　　　　　　　　　　D．

試題詳情

3． (2008全國Ⅱ)函數(shù)的圖像關(guān)于( C　 )

A．軸對稱　　　　　　　　　　　B．直線對稱　

C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱　　　　　　　　　D．直線對稱

試題詳情

2．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是　 (　 C　 )

A．　　　　　　　　　　　　　B．　　

　 C．　　　　　　　　　D．

試題詳情

1．二次函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間為　 ( A　 )

A．　　　　B．　　　　C．　　　 D．

試題詳情

2.設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，的圖象是經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的射線，又在的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在，且過點(diǎn)的一段拋物線.試寫出函數(shù)的表達(dá)式，并作出其圖象.

[解析]當(dāng)時，設(shè)，則由，即，得；

當(dāng)時，設(shè)，

則由，即，得；

當(dāng)時，．

故f(x)＝.

[題型3] 函數(shù)的周期問題

[例3] 求下列函數(shù)的周期：

　　　 (1)　　　　　 (2)

　[解析](1)由得，，所以函數(shù)周期為

(2)由得，，所以函數(shù)的周期為．

[點(diǎn)評]這是一個抽象函數(shù)的周期問題，注意已知等式中變量的替換，再與周期的定義結(jié)合，就可以得出周期.

[變式與拓展]

已知偶函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期為4．

　　 (1)若，求的值；

　　 (2)若在上遞增，則下列關(guān)系中正確的是(　　 )

A．　　　　　　　　　B．　　　

　　　C．　　　　　　　　　D．

[解析](1)∵4是函數(shù)的周期，∴也是函數(shù)的周期．

于是，．　

　(2)偶函數(shù)在在上遞增，則在[2，4]上遞減。由函數(shù)的最小正周期為4知，在[0，2]上遞增。排除(B)，又，排除(D)．

∵，∴選(C)．

能力訓(xùn)練

試題詳情

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)

(2)

[解析](1)由，得，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又，所以是定義域上的奇函數(shù).

(2)定義域?yàn)?sub>，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又當(dāng)時，，則時，，

∴，

又當(dāng)時，，則時，，

∴，

故原函數(shù)為偶函數(shù).

[題型2]函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

[例2]設(shè)，是R上的偶函數(shù).

(1)求a的值；

(2)證明在上是增函數(shù)．

[解析](1)∵是上的偶函數(shù)，∴．

∴

不可能恒為“”，∴當(dāng)時等式恒成立，∴a＝1．

(2)在上任取，

f(x₁)－f(x₂)＝

∵e＞1，∴0＜＞1，∴＞1，

∴，∴是在上的增函數(shù)．

[點(diǎn)評]本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的基礎(chǔ)知識．

[變式與拓展]

試題詳情

4．周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果存在一個不等于的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任意值時都有，則是周期函數(shù)，是它的一個周期.對于一個周期函數(shù)，如果所有周期中存在一個最小的正的周期，就把這個周期叫做最小正周期.

教材透析

知識點(diǎn)1:奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，解題時要優(yōu)先考慮；定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).

知識點(diǎn)2：函數(shù)奇偶性的判斷方法：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；②對于奇函數(shù)若定義域中有，則；③ 特值檢驗(yàn)，然后再證明；④利用某些性質(zhì)：在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)與偶函數(shù)的和(或差或積或商)是偶函數(shù)，奇函數(shù)與奇函數(shù)的和(或差或積或商)是奇函數(shù)，(作商時，注意分母不能為)奇函數(shù)與偶函數(shù)的積與商為奇函數(shù).

知識點(diǎn)3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用①作函數(shù)圖像；②求解析式；③奇偶性與單調(diào)性的聯(lián)系：奇函數(shù)的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)的對稱區(qū)間上單調(diào)性相反；④利用奇偶性求值.

知識點(diǎn)4：若是函數(shù)的周期，則的整數(shù)倍也是函數(shù)的周期.

典例剖析

[題型1]判斷函數(shù)的周期性

[例1](2002全國文)設(shè)函數(shù)，.

(1)判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)求函數(shù)的最小值.

[解析](1)，

由于，

故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)f(x)=，

由于在上的最小值為，在內(nèi)的最小值為，

故函數(shù)在內(nèi)的最小值為.

[點(diǎn)評]因?yàn)槠媾己瘮?shù)問題要緊緊抓住“任取”“都有”這兩個關(guān)鍵詞. 與要同時有意義，f(x)與f(－x)要么相等，要么互為相反數(shù)，而要討論非奇非偶只要說明不滿足上述兩點(diǎn)之一即可.另外，也可以借助分段函數(shù)的草圖，幫助分析，然后用代數(shù)方法來回答.