2、把對(duì)無(wú)限的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)有限的研究，是解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路.
1、有限與無(wú)限的思想就是將無(wú)限的問(wèn)題化為有限來(lái)求解，將有限的問(wèn)題化為無(wú)限來(lái)解決，利用已經(jīng)掌握的無(wú)限問(wèn)題的結(jié)論來(lái)解決新的無(wú)限問(wèn)題.
7.
預(yù)測(cè)題
(1)(2008寧夏銀川一中,改編)已知函數(shù)
(其中
)，
若
的圖像如右圖所示，則函數(shù)
的圖像是( )
分析:由已知二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象可以判斷
的取值范圍,從而判斷
的圖象.
解: 由函數(shù)(其中)的圖象可知,
.把
的圖象向下平移
個(gè)單位,故選A.
答案:A
評(píng)注:學(xué)會(huì)識(shí)圖,讀圖,畫(huà)圖,并進(jìn)行圖象的平移變換.
(2)(2008山東省聊城市,改編)函數(shù)
的定義域?yàn)?a,b)，其導(dǎo)函數(shù)
內(nèi)的圖象如圖所示，則函
數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ( )
A．1 B．2 C．3 D. 4
分析:要判斷函數(shù)的極值點(diǎn),要先找導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),再看此點(diǎn)
兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),如果異號(hào)就是原函數(shù)的極值點(diǎn).
解:由導(dǎo)函數(shù)圖知, 只在
處的導(dǎo)數(shù)值為0,且兩側(cè)的符號(hào)相異.
函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)
評(píng)注:判斷函數(shù)的極值點(diǎn)不能只找導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),還要看此零點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),如果異號(hào)就是原函數(shù)的極值點(diǎn).本題圖中
處雖然也為零,但因其兩側(cè)的符號(hào)相同,而不是函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn).
(3)(原創(chuàng))設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足
分析: 作出不等式表示的可行域,再畫(huà)出可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)
連線,數(shù)形結(jié)合解答.
解: 作出不等式表示的可行域如圖所示，
表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
則的取值范圍是
答案:
評(píng)注:作出不等式表示的可行域后, 在畫(huà)出可行域內(nèi)的點(diǎn)與
點(diǎn)連線時(shí),要畫(huà)準(zhǔn)確,其中有一條直線的斜率不存在,
注意斜率的取值范圍應(yīng)該為兩直線對(duì)應(yīng)的斜率之外.
(4)(08山東卷，理12改編)設(shè)二元一次不等式組
所表示的平面區(qū)域?yàn)?sub>
，使函數(shù)
的圖象過(guò)區(qū)域的
的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
分析：先畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，再畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，借助圖形解答。
解：
區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，三個(gè)頂
點(diǎn)的坐標(biāo)是
，結(jié)合圖
形檢驗(yàn)可知當(dāng)
時(shí)，符合題目要求。
評(píng)注：解決不等式表示的平面區(qū)域和
函數(shù)問(wèn)題都要用數(shù)形結(jié)合，做到一目了然。
(5)(2008海南卷，理11,改編)已知點(diǎn)P在拋物線
上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)
的距離與點(diǎn)P到
軸的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．
B．
C．
D．
分析: 點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到軸的距離之和取得最小值時(shí), 點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值,這樣就可以把點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)為到焦點(diǎn)的距離求出.
解: 點(diǎn)在拋物線的外部,要使點(diǎn)P到點(diǎn)
的距離與點(diǎn)P到軸的距離之和取得最小值,根據(jù)拋物線的定義知,須使點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小,即
三點(diǎn)共線時(shí)最小. 由斜率
公式得
,所以
的方程為
,
解方程組
得,點(diǎn)
,故選A.
答案:A
評(píng)注:拋物線的定義是到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,
做題時(shí)常常用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
(6)、已知函數(shù)
當(dāng)
時(shí)，總有
.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)
，求證：當(dāng)
時(shí)，
的充要條件是
.
分析：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，那么為二次不等式，當(dāng)時(shí)，總有.就要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化；當(dāng)時(shí)，成立也是二次不等式恒成立問(wèn)題也要結(jié)合著二次函數(shù)的圖象完成。
解：(Ⅰ)由條件，得
，
當(dāng)時(shí)，總有，所以有
|
由①+②得，
，
又b≥－2，∴b=－2，把b=－2代入①和②得
因此
.
(Ⅱ)
，
是關(guān)于x的二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
或
或
解得，. 因此，當(dāng)時(shí)，的充要條件是
評(píng)注：二次函數(shù)，二次方程，二次不等式問(wèn)題常常要結(jié)合著二次函數(shù)的圖象來(lái)完成，對(duì)于二次不等式來(lái)說(shuō)一般要從二次拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，判別式和端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值四方面來(lái)解答。
6．解析幾何問(wèn)題常常數(shù)形結(jié)合
例10.(2008海南卷，理11)已知點(diǎn)P在拋物線
上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)
的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．
B．
C．
D．
分析: 點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí), 點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值,這樣就可以把點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)為到準(zhǔn)線的距離求出.
解: 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部,要使點(diǎn)P到點(diǎn)的
距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值,根據(jù)拋物線的
定義知,須使點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線
距離之和取得最小,即
時(shí)最小.則
故選A.
答案:A
評(píng)注:拋物線的定義是到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,做題時(shí)常常用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
例11．(福建德化一中2008，理)已知函數(shù)f(x)= , 若0<x1<x2<1, 則 ( )
A． > B． = C． < D． 前三個(gè)判斷都不正確
分析：從解析式上看函數(shù)與圓的方程有聯(lián)系，可以轉(zhuǎn)化為圓，畫(huà)出圖形，由數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論。
解：由函數(shù)
得
知的圖象為圓
的上半圓，如圖，當(dāng)0<x1<x2<1時(shí)，和分別
為
的斜率，由圖可知
，∴ > ，故選A
評(píng)注：對(duì)于函數(shù)的圖象要熟悉，利用數(shù)形結(jié)合解答函數(shù)的選擇題
比較形象直觀，容易找到關(guān)系。
例12.(2008重慶卷,理21)如圖(21)圖，M(-2，0)和N(2，0)是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(Ⅱ)若
,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析：根據(jù)已知條件和橢圓的定義易得點(diǎn)P的軌跡方程，
由(2)中的等式可變形轉(zhuǎn)為向量的模和數(shù)量積，結(jié)合總條件，
在三角形
中研究邊與角之間的關(guān)系。
解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓.
因此半焦距c=2，長(zhǎng)半軸a=3，從而短半軸，b=
，
所以橢圓的方程為
(Ⅱ)由
得
�、�
因?yàn)?sub>
不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.在△PMN中，
②
將①代入②，得
故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為
的雙曲線
上. 由(Ⅰ)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足
，所以由方程組
解得
即P點(diǎn)坐標(biāo)為
評(píng)注：解析幾何問(wèn)題要畫(huà)出圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法解答。
5.利用函數(shù)借助圖形求面積
例9.(2008山東省聊城市
)．曲線
和
曲線
圍成一個(gè)葉形圖(如圖所示陰影部分)，
其面積是 ( )
A．1 B．
C．
D．
分析: 兩條曲線圍成的面積用微積分求出,并且是上面的函數(shù)減去下面的函數(shù)的積分.
解:兩條曲線的交點(diǎn)為
,陰影部分的面積為
評(píng)注:對(duì)于曲線所圍成的不規(guī)則的幾何圖形的面積,要用微積分解答,注意積分的上限和下限,有時(shí)要看圖形是否需要切分成多塊部分求出.
4．利用不等式表示的平面區(qū)域解答問(wèn)題
例7．(2008年安徽卷，理15)若
為不等式組
表示的平面區(qū)域，
則當(dāng)從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線
掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積為
分析：作出不等式表示的平面區(qū)域，然后再作平行線
和
則夾在兩平行線之間的部分即為所求。
解：如圖知
是斜邊為3 的等腰直角三角形，
是直
角邊為1等腰直角三角形，區(qū)域的面積
評(píng)注：涉及到不等式表示的平面區(qū)域問(wèn)題時(shí)常常要畫(huà)出圖形數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題。
例8．(2008年浙江,理17)若
，且當(dāng)
時(shí)，恒有
，則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)P(，b)所形成的平面區(qū)域的面積等于__________。
分析：本小題主要考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，可考慮特殊情形，
比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1.所以猜測(cè)a介于0和1之間，
b介于0和1之間。
解：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?sub>
，如圖，
由恒成立知，當(dāng)
時(shí)，
恒成立，當(dāng)
成立；當(dāng)
時(shí)，
恒成立，∴
；同理，
∴以,b為坐標(biāo)點(diǎn)P(，b)所形成的平面區(qū)域是一個(gè)正方形，所以面積為1。
答案：1
評(píng)注：線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)要畫(huà)出圖形，借助圖形解答。另外對(duì)于恒成立問(wèn)題，對(duì)個(gè)例一定成立，還要轉(zhuǎn)為函數(shù)的最值。
3.利用導(dǎo)函數(shù)圖象解答問(wèn)題
例5．(2008金華一中模擬)
函數(shù)
的圖象過(guò)原點(diǎn)，且它的導(dǎo)函數(shù)
的圖象是如圖所示的一條直線，則的圖象的頂點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
分析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象及求導(dǎo)公式，提煉出信息得到原函數(shù)的有關(guān)信息解答。
解：它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，可知原函數(shù)為二次函數(shù)，設(shè)解析式為
，由于函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以
，
為減函數(shù)，∴
，由的圖象可知當(dāng)
時(shí)
，函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以頂點(diǎn)在第一象限
評(píng)注：要熟悉導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)一次、二次函數(shù)關(guān)系及其圖象的特點(diǎn)要很熟悉。
例6.(2009萊陽(yáng))設(shè)
是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將
和
的圖象畫(huà)在同一直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是
解析:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)之間的關(guān)系,進(jìn)行逐一判斷. A,B,C
都有可能成立,排除A,B,C,選D
答案:D
評(píng)注:正確圖象判斷的原則為: 函數(shù)的單調(diào)增,則導(dǎo)函數(shù)值為正, 函數(shù)的單調(diào)減,則導(dǎo)函數(shù)值為負(fù).
2.利用函數(shù)的圖象解答問(wèn)題
例2．(07浙江)設(shè)
，
是二次函數(shù)，若
的值域是
，則的值域是( )
A.
B.
C. D. 
分析：本題為復(fù)合函數(shù)，相當(dāng)于中的
的值，結(jié)合函數(shù)的圖象，可以求得的值域。
解：作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖知
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)的值域
為，而為復(fù)合函數(shù)，相當(dāng)
于中的的值，所以的值域是，故選B。
答案：B
評(píng)注：本題中的復(fù)合函數(shù)要轉(zhuǎn)化為原函數(shù)和的信息，結(jié)合函數(shù)的圖象更為直觀地找到它們之間的關(guān)系。而不必探究二次函數(shù)的解析式。
例3．(2008廣東深圳中學(xué))若
的圖象必不經(jīng)過(guò) ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析:由
知函數(shù)圖象單調(diào)遞增,由
知把指數(shù)函數(shù)圖象向下平移到原點(diǎn)的下方.故不過(guò)第二象限,選B.
答案:B
評(píng)注:對(duì)于指數(shù)函數(shù)的圖象必須熟悉,并能夠進(jìn)行圖象的平移變換.
例4．(寧夏區(qū)銀川一中2008)函數(shù)
的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ( )
A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)
分析：函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程
的
解的個(gè)數(shù)，要通過(guò)數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
解： 的零點(diǎn)，即使，作函數(shù)
的圖象和函數(shù)
的圖象如圖所示，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)
零點(diǎn)，故選
答案：
評(píng)注：對(duì)于象本題這樣的超越函數(shù)的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題常常用數(shù)形結(jié)合的思想解答
1．集合問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合
例1.(2008北京卷,理1)已知全集
，集合
，
，那么集合
等于( )
A．
B．
C．
D．
分析:不等式表示的集合通過(guò)數(shù)軸解答.
解:在數(shù)軸上先畫(huà)出
,再畫(huà)出集合,取其公共部分如圖所示陰影部分就是集合,故選D
答案:D
評(píng)注:對(duì)于不等式表示的集合,可在數(shù)軸上表示并進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算
7．
預(yù)測(cè)題
(1)．(2008寧夏區(qū)銀川一中，改編)矩形
的
任意一點(diǎn)落在由函數(shù)
所圍成的一個(gè)封閉圖形內(nèi)的點(diǎn)所占的概率是 ( )
A．
B．
C．
D．
分析：陰影部分的圖形不規(guī)則，其面積只能用定積分求出，概率為面積之比。
解：由題意可知陰影部分的面積為
，矩形的面積為
，矩形的任意一點(diǎn)落在由函數(shù)
的圖象所圍成的一個(gè)封閉圖形內(nèi)的點(diǎn)所占的概率是，故選
評(píng)注：對(duì)于不規(guī)則圖形的面積要用定積分求出，再由幾何量之比求出概率。
(2)．(原創(chuàng))在區(qū)間
上任取兩個(gè)數(shù)
，則方程
沒(méi)有實(shí)根的概率為 .
分析：求出方程有實(shí)根的條件，可發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)求幾何概型的概率問(wèn)題，求出相關(guān)平面區(qū)域的面積，即可求概率.
解：若使方程
有實(shí)根，須滿足
，
即
它表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(包括邊界)所示，
其面積為
，又事件空間對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其面積為1，故所求概率為.
評(píng)注：本小題把二次方程、線性規(guī)劃、定積分、概率綜合為一體，綜合考查了數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想和必然與或然的數(shù)學(xué)思想。
(3)．某網(wǎng)站有
臺(tái)相同的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器都有
個(gè)外網(wǎng)端口，據(jù)以往的安全監(jiān)控分析得知，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口各自受黑客入侵的概率為
，只要有兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口被入侵就會(huì)導(dǎo)致該服務(wù)器癱瘓，從而導(dǎo)致該服務(wù)器中斷工作． 網(wǎng)站的各臺(tái)服務(wù)器互相獨(dú)立工作，網(wǎng)站至少有兩臺(tái)服務(wù)器能工作，該網(wǎng)站就能正常運(yùn)營(yíng)．
①求每個(gè)服務(wù)器中斷工作的概率；
②求該網(wǎng)站能夠正常運(yùn)營(yíng)的概率；
③設(shè)網(wǎng)站能正常工作的服務(wù)器的臺(tái)數(shù)為隨機(jī)變量
，求
分析：每個(gè)服務(wù)器中斷工作的概率比較好求，正面求出或反面求出，網(wǎng)站至少有兩臺(tái)服務(wù)器能工作，該網(wǎng)站就能正常運(yùn)營(yíng)，情況就比較復(fù)雜，而反面只有兩種情況，就是網(wǎng)站不能運(yùn)營(yíng)，是指的這個(gè)網(wǎng)站至多只有一臺(tái)服務(wù)器能正常工作。網(wǎng)站能正常工作的服務(wù)器的臺(tái)數(shù)為隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，可按公式計(jì)算。
解：①先求服務(wù)器能正常工作的概率．每臺(tái)服務(wù)器能正常工作是指這臺(tái)服務(wù)器至少有兩個(gè)端口沒(méi)有受到黑客入侵，故這個(gè)概率是
．
即每個(gè)服務(wù)器中斷工作的概率為
．
②先求該網(wǎng)站不能運(yùn)營(yíng)的概率．該網(wǎng)站不能運(yùn)營(yíng)是指的這個(gè)網(wǎng)站至多只有一臺(tái)服務(wù)器能正常工作，故這個(gè)概率是
，故這個(gè)網(wǎng)站能正常運(yùn)營(yíng)的概率是
．
③
，故
．
評(píng)注：本題中構(gòu)造了重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)事件的概率，對(duì)于 “至多”、“至少”問(wèn)題可以正、反兩方面考慮，需要看怎么解答簡(jiǎn)單。
(4)(原創(chuàng))(文科)甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，各從1到9這九個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字，甲抽取的數(shù)字為十位數(shù)字，乙抽取的數(shù)字為個(gè)位數(shù)字，構(gòu)成一個(gè)十位數(shù)
①事件“兩位上的數(shù)字相同的十位數(shù)”的概率
②事件“兩位上的數(shù)字之和小于9的十位數(shù)”的概率
③事件“兩位上的數(shù)字之和等于或大于11十位數(shù)”的概率.
分析：甲抽取的數(shù)字為十位數(shù)字，乙抽取的數(shù)字為個(gè)位數(shù)字，構(gòu)成一個(gè)十位數(shù)，抽取的過(guò)程是隨機(jī)的等可能的，可以一一列出所以的基本事件，從中找出滿足要求的基本事件。
解: 甲、乙兩人都是從1到9這九個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取數(shù)字，構(gòu)成十位數(shù)，所以是等可能事件，甲、乙兩人抽取的數(shù)字都有9種情況,構(gòu)成的十位數(shù)分別為11，12，13，14，…19，21，22，23，24，…29，31，32，33，34，…39；……91，92，93，94，…99,所以基本事件總數(shù)為9×9=81個(gè)
①記“兩位上的數(shù)字相同的十位數(shù)”為事件
,則事件有9個(gè)基本事件,即11，22，33，44，55，66，77，88，99 ∴
②記“兩位上的數(shù)字之和小于9的十位數(shù)”為事件,則事件所包含的基本事件有 11，12，13，14，15，16，17；21，22，23，24，25，26；31，32，33，34，35；41，42，43，44；51，52，53；61，62；71共有7+6+5+4+3+2+1=28個(gè)基本事件,∴
③記“兩位上的數(shù)字之和等于或大于15的十位數(shù)”為事件
,則事件所包含的基本事件有69；78，79；87，88，89；96，97，98，99有1+2+3+4=10個(gè)基本事件 ∴
評(píng)注：對(duì)于文科的概率考題來(lái)說(shuō)，基本上都是古典概型，并且是按列舉出所有基本事件，從中找出符合要求的基本事件的概率。
(5)(2008屆莆田四中)甲，乙兩人參加某電視臺(tái)舉辦的答題游戲，兩人分別各自從8道備選題中任抽取4道做答。已知8道題中甲答對(duì)每道題的概率都是
，乙能答對(duì)其中的4道題。
(1)求甲，乙兩人都答對(duì)其中3道的概率；
(2)設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望。
分析：自從8道備選題中任抽取4道做答，答對(duì)其中3道，這就意味著有一道答不對(duì)，甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為服從超幾何分布，從而列出分布列。甲，乙兩人都答對(duì)其中3道，為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生。
解：(1)設(shè)甲、乙兩人答對(duì)其中3道的事件分別為
，
則
, 
所以甲、乙都答對(duì)其中3道的概率
(2)
甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)的取值為0，1，2，3，4
， 
， 
，
， 
的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
 |
 |
 |
 |
 |
所以
評(píng)注：本題為超幾何分布列，解決概率問(wèn)題一定要注意題目的類型，理解好題意解答問(wèn)題。
(6).(原創(chuàng))(理科)集市上有一種“彈珠子”的小游戲：游戲者交兩元錢(qián)給攤主，就可以彈珠子一局(一局為獨(dú)立彈珠子三次)，珠子彈出后在盤(pán)中經(jīng)過(guò)一系列碰撞后等可能地隨機(jī)滾入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中．珠子如果滾入1號(hào)盒子中游戲者均積1分，如果滾入2號(hào)盒子中，游戲者積2分．如果滾入3號(hào)盒子中游戲者均積
分，游戲者可以根據(jù)不同積分領(lǐng)取獎(jiǎng)品．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽游戲,用表示甲游戲者玩一局的總積分.
(Ⅰ)求的分布列和數(shù)學(xué)期望．(Ⅱ)用
表示“甲、乙兩人總得分之和等于2”這一事件，用
表示“甲總得分大于乙總得分”這一事件，求
．
分析：本題中的隨機(jī)變量的取值需要按實(shí)際情況分別探討，分類完成，列出分布列。
解：由題意知，x 的取值為－9，－5，－4，－1，0，1，3，4，5，6．
∵ 珠子是等可能地隨機(jī)滾入三個(gè)盒子中，∴ 珠子滾入每個(gè)盒子的概率都是
．
∴ P(x =－9)=
=
，P(x =－5)= 
=
，
P(x =－4)= =
，P(x =－1)= 
=
，
P(x = 0)=
，P(x = 1)=
，
P(x = 3)==， P(x = 4)=
，
P(x = 5)=
， P(x = 6)= =．
∴ x 的分布列是：
|
x |
－9 |
－5 |
－4 |
－1 |
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
P |
 |
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
x 的數(shù)學(xué)期望
Ex =
(Ⅱ)用
表示“甲得6分,乙得－4分”這一事件，用
表示“甲得3分,乙得－1分”這一事件，
所以
，且
互斥，
又
=
由互斥事件的概率公式得
評(píng)注：本題中的隨機(jī)變量x 的取值比較麻煩，需要分別計(jì)算所有各種情況的分值，并算出所占的概率，所有事件的概率之和為1，可以以此檢驗(yàn)計(jì)算是否正確。而則需要理解透題意，并把相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)化為互斥事件的概率求出。
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