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(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ 　公式E(aξ+b)= aEξ+b，以及服從二項分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np

試題詳情

3．設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個．今取水1升進(jìn)行化驗，設(shè)其中含有大腸桿菌的個數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是，事件“ξ=k”發(fā)生，即n個大腸桿菌中恰有k個在此升水中，由n次獨立重復(fù)實驗中事件A(在此升水中含一個大腸桿菌)恰好發(fā)生k次的概率計算方法可求出P(ξ=k),進(jìn)而可求Eξ.

　解：記事件A：“在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)=．

　　∴　P(ξ=k)=P_n(k)=C)^k(1－)ⁿ^－k(k=0,1,2,….,n)．

　∴　ξ-B(n,)，故　Eξ =n×=　　

試題詳情

2. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求

⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望；

⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學(xué)期望；

⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望．

解：⑴因為，，所以

1×+0×

⑵η的概率分布為

η	0	1	2
P

所以　　 0×+1×+2×＝1.4．

　　 ⑶ξ的概率分布為

ξ	0	1	2	3
P

　　所以　 0×+1×+2×＝2.1.

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1. 口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，則(　　　 )

A．4；　B．5；　C．4.5；　D．4.75

答案：C 　

試題詳情

例1. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望

解：因為，

所以

例2. 隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點數(shù)的期望

解：∵，

=3.5

例3. 有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望(結(jié)果保留三個有效數(shù)字)

解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗可以認(rèn)為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次(=1，2，…，10)取出次品的概率：

(=1，2，…，10)

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.15	0.1275	0.1084	0.092	0.0783	0.0666	0.0566	0.0481	0.0409	0.2316

根據(jù)以上的概率分布，可得的期望

例4. 一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機(jī)地選擇一個，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望

解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，則~ B(20,0.9),,

由于答對每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5 所以，他們在測驗中的成績的期望分別是：

例5．隨機(jī)的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

解：拋擲骰子所得點數(shù)ξ的概率分布為

ξ	1	2	3	4	5	6
P

所以　　

1×+2×+3×+4×+5×+6×

＝(1+2+3+4+5+6)×＝3.5．

拋擲骰子所得點數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

例6．某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計)．從這個城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費為η

(Ⅰ)求租車費η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；

(Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為