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18．(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁＝t，a₂＝t²，前n項和為S_n，且S_n+2－(t+1)S_n+1+tS_n＝0(n∈N^*)．

(1)證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；

(2)當(dāng)<t<2時，比較2ⁿ+2^－n與tⁿ+t^－n的大��；

(3)若<t<2，b_n＝，求證：++…+<2ⁿ－2－.

解：(1)證明：由S_n+2－(t+1)S_n+1+tS_n＝0，得tS_n+1－tS_n＝S_n+2－S_n+1，即a_n+2＝ta_n+1，

而a₁＝t，a₂＝t²，∴數(shù)列{a_n}是以t為首項，t為公比的等比數(shù)列，

∴a_n＝tⁿ.

(2)∵(tⁿ+t^－n)－(2ⁿ+2^－n)＝(tⁿ－2ⁿ)[1－()ⁿ]，又<t<2，∴<<1，則tⁿ－2ⁿ<0且1－()ⁿ>0，

∴(tⁿ－2ⁿ)[1－()ⁿ]<0，∴tⁿ+t^－n<2ⁿ+2^－n.

(3)證明：∵＝(tⁿ+t^－n)，

∴2(++…+)<(2+2²+…2ⁿ)+(2^－1+2^－2+…+2^－n)＝2(2ⁿ－1)+1－2^－n＝2ⁿ⁺¹－(1+2^－n)<2ⁿ⁺¹－2，

∴++…+<2ⁿ－2－.

17．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{a_n}中，其前n項和為S_n，且n，a_n，S_n成等差數(shù)列(n∈N^*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)求S_n>57時n的取值范圍．

解：(1)∵n，a_n，S_n成等差數(shù)列，

∴S_n＝2a_n－n，S_n－1＝2a_n－1－(n－1)　(n≥2)，

∴a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1－1　(n≥2)，

∴a_n＝2a_n－1+1　(n≥2)，

兩邊加1得a_n+1＝2(a_n－1+1)　(n≥2)，

∴＝2　(n≥2)．

又由S_n＝2a_n－n得a₁＝1.

∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，

∴a_n+1＝2·2^n－1，即數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n＝2ⁿ－1.

(2)由(1)知，S_n＝2a_n－n＝2ⁿ⁺¹－2－n，

∴S_n+1－S_n＝2ⁿ⁺²－2－(n+1)－(2ⁿ⁺¹－2－n)

＝2ⁿ⁺¹－1>0，

∴S_n+1>S_n，{S_n}為遞增數(shù)列．

由題設(shè)，S_n>57，即2ⁿ⁺¹－n>59.

又當(dāng)n＝5時，2⁶－5＝59，∴n>5.

∴當(dāng)S_n>57時，n的取值范圍為n≥6(n∈N^*)．

16．(文)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

2　3

4　5　6

7　8　 9　10

11　12　13　14　15

…　…　…　…　…　…

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)是________．

解析：前n－1行共有正整數(shù)1+2+…+(n－1)＝個，即個，

因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個，

即為.

答案：

(理)下面給出一個“直角三角形數(shù)陣”：

，

，，

…

滿足每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第i行第j列的數(shù)為a_ij(i≥j，i，j∈N^*)，則a₈₃＝________.

解析：由題意知，a₈₃位于第8行第3列，且第1列的公差等于，每一行的公比都等于.由等差數(shù)列的通項公式知，第8行第1個數(shù)為+(8－1)×＝2，a₈₃＝2×()²＝.

答案：

15．已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁及公差d都是整數(shù)，前n項和為S_n(n∈N^*)．若a₁>1，a₄>3，S₃≤9，則通項公式a_n＝________.

解析：由a₁>1，a₄>3，S₃≤9得，，令x＝a₁，y＝d得，，在平面直角坐標系中作出可行域可知符合要求的整數(shù)點只有(2,1)，即a₁＝2，d＝1，所以a_n＝2+n－1＝n+1.

答案：n+1

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n＝a_n－1+(n≥2)，則{a_n}的通項公式為________．

解析：a_n－a_n－1＝＝(－)，a_n＝(a_n－a_n－1)+(a_n－1－a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁＝(－+－+…+1－+1)，得：a_n＝－.

答案：a_n＝－

13．(2010·長郡模擬)已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝m(m為正整數(shù))，a_n+1＝，若a₆＝1，則m所有可能的取值為________．

解析：由a₆＝1⇒a₅＝2⇒a₄＝4⇒a₃＝1或8⇒a₂＝2或16⇒a₁＝4或5、32.

答案：4,5,32

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1＝+，且a₁＝，則該數(shù)列的前2 008項的和等于 (　)

A．1 506 　　　　　　B．3 012 　　　　C．1 004　 　　　　　　　D．2 008

解析：因為a₁＝，又a_n+1＝+，所以a₂＝1，從而a₃＝，a₄＝1，即得a_n＝，故數(shù)列的前2 008項的和為S_{2 008}＝1 004·(1+)＝1 506.

答案：A

11．(2010·平頂山模擬)已知{a_n}是遞增數(shù)列，對任意的n∈N^*，都有a_n＝n²+λn恒成立，則λ的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－，+∞) 　　　　　　　　　B．(0，+∞)

C．(－2，+∞)　 　　　　　　　　　D．(－3，+∞)

解析：數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且a_n＝n²+λn，則a_n+1－a_n＝2n+1+λ>0在n≥1時恒成立，只需要λ>(－2n－1)_max＝－3，故λ>－3.

答案：D

10．已知兩個等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2　　　　　 　B．3 　　　　　　　C．4　 　　　　　　D．5

解析：由等差數(shù)列的前n項和及等差中項，

可得＝＝＝

＝＝＝＝7+(n∈N^*)，故n＝1,2,3,5,11時，為整數(shù)．

答案：D

9．在等比數(shù)列{a_n}中，若a₃a₅a₇a₉a₁₁＝32，則的值為　　　　 　　　　　　　(　)

A．4 　　　　B．2 　　　C．－2 　　　D．－4

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得a₃·a₁₁＝a₅·a₉＝a，所以a₇＝2，故＝＝a₇＝2.

答案：B