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4．在求軌跡方程問題中易出錯(cuò)的是對(duì)軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出軌跡方程以后，應(yīng)仔細(xì)檢查有無“不法份子”摻雜其中，將其刪除；另一方面，還應(yīng)注意圾無“漏網(wǎng)之魚”逍遙法外，將其捉回，即軌跡上點(diǎn)不能含有雜點(diǎn)，也不能少點(diǎn)，也就是曲線上點(diǎn)不多也不少。

[基礎(chǔ)闖關(guān)]

3．解答曲線的方程問題，首先要明確圓錐曲線的性質(zhì)，作好對(duì)圖形變化可能性的總體分析，選好相應(yīng)的解題策略和擬定好具體的方法，如參數(shù)的選取，相關(guān)點(diǎn)的變化規(guī)律及限制條件等等，注意將動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言表述。

2．要注意一些軌跡問題，都包括一定的隱含條件，也就是曲線上的點(diǎn)的取值范圍.

1．求曲線的方程問題是解析幾何學(xué)的兩大基本問題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)變?yōu)閷で笞兞块g的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí)，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程時(shí)的作用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線的定義時(shí)，就可以直接得出方程.

3.求曲線方程(或軌跡)常用的方法

(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成的等式就可以得到曲線的方程.由于這種求曲線(軌跡)方程的過程不需要其它步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法；

(2)定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某本曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接求出曲線方程；

(3)幾何法：若所求的曲線方程滿足某些幾何性質(zhì)(如線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)等)，則可利用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較為方便；

(4)相關(guān)點(diǎn)法(代入法)：有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便于用等式列出，但其動(dòng)點(diǎn)是承受著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的.這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

(5)參數(shù)法：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量(如角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法稱之為參數(shù)法，如需要得出普通方程，只要消去參數(shù)即可。在選擇參數(shù)時(shí)，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時(shí)間、速度、距離、角度、有向線段的數(shù)量、直線的斜率，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響.

(6)交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參考求出所求的曲線方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用.

(7)整體法：當(dāng)探求的曲線方程問題較為復(fù)雜時(shí)，可擴(kuò)大考察視角，將問題中的條件、結(jié)論的各種關(guān)系看成是一個(gè)整體，從整體出發(fā)運(yùn)用整體思想、注重整體結(jié)構(gòu)的挖掘和分析。

［特別提醒］

2．坐標(biāo)法與解析研究的對(duì)象

(1)坐標(biāo)法：借助于坐標(biāo)系，用　　　 表示點(diǎn)，把曲線看成　　　　　　　　　　 或軌跡，用曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程　　　　　 表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，這種方法稱為坐標(biāo)法.

(2)用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的學(xué)科叫做　　　　　 ，解析幾何主要研究以下問題：

①根據(jù)已知條件，求出曲線的方程；②通過曲線方程，研究曲線的性質(zhì).

(3)利用坐標(biāo)法求曲線方程的步驟：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序的實(shí)數(shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；

②寫出適合條件的點(diǎn)的集合　　　　　　　　 ；

③用坐標(biāo)表示條件，列出方程；

④化方程為最簡(jiǎn)形式；

⑤說明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在　　　 上.

1．曲線的方程與方程的曲線

一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)一元二次方程的實(shí)數(shù)解建立如下關(guān)系：

(1)　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，那么這個(gè)方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線。另外，平面上所有滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的集合，也稱為　　　　　 。

12. (2006年四川卷)已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積.

第五講　曲線與方程

[知識(shí)梳理]

［知識(shí)盤點(diǎn)］

11. (2006年福建卷)　　　 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

　　　 (I)求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；

　　　 (II)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。

10．在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4，－3)為△OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.

　 (1)求向量的坐標(biāo)；

　　 (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.