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5．(2005年遼寧卷)如圖所示，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求出這個(gè)最小值。

例6．給定雙曲線.

(1)過(guò)點(diǎn)的直線與所給的雙曲線交于，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)能否作直線，使與所給的雙曲線交于，且是線段的中點(diǎn)？若存在，求出直線方程.如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

［剖析］本題是探索性問(wèn)題，考查方程思想，韋達(dá)定理及解析幾何中的“設(shè)而不求”的思想。

［解］(1)解法一：設(shè)，

(i)若存在，則由可得，

①②，得，代入②，得

有

(ii)當(dāng)不存在時(shí)，有，則也合符合上式。

綜合(i)(ii)可知點(diǎn)的軌跡方程為.

解法二：設(shè)，則，

兩式相減，得

當(dāng)，時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足.

故點(diǎn)的軌跡方程為.

(2)假設(shè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線存在，設(shè)

可得

，

直線的方程為，即

由于方程組無(wú)解，故滿(mǎn)足條件的直線不存在。

［警示］探索性試題常見(jiàn)的題型有兩類(lèi)：一類(lèi)是給出問(wèn)題對(duì)象的一些特殊關(guān)系，要求解題者探索出一般規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性；通常要求對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律。第二類(lèi)是只給出條件，要求解題者論證在此條件下，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)結(jié)論，這類(lèi)問(wèn)題常以適合某種條件下的結(jié)論“存在”、“不存在”與“是否存在”等詞語(yǔ)表述.解決這類(lèi)問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若推出相符的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若推導(dǎo)出矛盾，則否定了存在性。

［變式訓(xùn)練］

4.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，若拋物線y²=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，求直線l斜率的取值范圍.

例5．設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：

　 (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

　 (2)的最小值與最大值.

［剖析］本題分成了兩個(gè)小問(wèn)題，第一個(gè)小問(wèn)題是求軌跡問(wèn)題，可借助于求軌跡的方法處理；對(duì)于第二小問(wèn)，結(jié)合題目的特點(diǎn)可以借助函數(shù)的單調(diào)性來(lái)加以解決。

［解］(1)解法一：直線l過(guò)點(diǎn)M(0，1)設(shè)其斜率為k，則l的方程為

記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組

于是

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得　　 ③

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿(mǎn)足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方

程為

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以

　 ④　　　 　�、�

④-⑤得，所以

當(dāng)時(shí)，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　 將⑦代入⑥并整理得 　　⑧

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，－2)，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)

也滿(mǎn)足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

(2)解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以

故當(dāng)，取得最小值，最小值為時(shí)，取得最大值，

最大值為

［警示］本題主要考查圓錐曲線的最值問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題的求解策略主要有兩種：(1)幾何法：若題目條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)某一曲線的幾何特征及意義，則可以考慮結(jié)合圖形來(lái)加以解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可以首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常用的方法有配方法、判別式法及函數(shù)的單調(diào)性法等。

［變式訓(xùn)練］

3.對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)

(1)求證：；

(2)取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).

試證：.

例4．已知橢圓，試確定的取值范圍，便得橢圓上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。

［剖析］直接設(shè)出這兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程、經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線斜率的表示、這兩點(diǎn)的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)幾個(gè)已知條件，列出關(guān)系式，聯(lián)立求解范圍；也可以把這兩個(gè)不同的點(diǎn)所確定直線的方程設(shè)出來(lái)與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用一元二次方程判斷式及韋達(dá)定理分析求解。

聯(lián)立④⑥得代入⑤，得

.

解法二：把對(duì)稱(chēng)點(diǎn)視為直線垂直平分弦之兩端.設(shè)是橢圓上關(guān)于對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則所在的直線方程為與橢圓方程聯(lián)立，消去得.

此方程有二個(gè)實(shí)根，，解之得：(*)

由韋達(dá)定理，得，弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)是.

又弦中點(diǎn)是直線與的公共點(diǎn)，

解方程組，得弦中點(diǎn)為，，即，代入(*)式，得，即.

［警示］本題把點(diǎn)和直線放在橢圓中考查，又運(yùn)用了橢圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，常見(jiàn)有兩種思考方法：一是由條件聯(lián)立方程組整體分析和代換求解；二是應(yīng)用一元二次方程的判別式及韋達(dá)定理，進(jìn)行分析求解.對(duì)于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱(chēng)，求有關(guān)參數(shù)的問(wèn)題，可以用參數(shù)表示弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線的內(nèi)部和在直線上等條件，建立不等式或不等式組來(lái)求出參數(shù)的范圍；或者利用對(duì)稱(chēng)條件求出過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程，利用判斷式大于零，建立不等式進(jìn)行求解。

［變式訓(xùn)練］

1．　 橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn).若，直線的斜率為，求橢圓的方程。

例3．過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程。

［剖析］求中點(diǎn)的軌跡方程，可以借助于點(diǎn)差法與韋達(dá)定理來(lái)解決。

［解］易知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，再設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則

兩式作差，得，那么，由于，得，即.

又由于，由，得或，

由于，可得或

從而所得軌跡方程為(或).

［警示］整體運(yùn)算，本題可以作為一典型題目，它通過(guò)整體推理、整體代換等有效地繞過(guò)許多中間環(huán)節(jié)使運(yùn)算直指結(jié)論。它既可優(yōu)化解題過(guò)程又可以給我們帶來(lái)一種賞心悅目的解題享受.本題借助于整體運(yùn)算產(chǎn)生中點(diǎn)的軌跡方程，其過(guò)程簡(jiǎn)練、運(yùn)算簡(jiǎn)單. 在欣賞整體運(yùn)算的同時(shí)，需要注意解析的后部分，借助方程組產(chǎn)生的范圍，這是多同學(xué)容易漏掉的地方，少了它，結(jié)論的完備性就不存在了。

［變式訓(xùn)練］

1．對(duì)于拋物線，稱(chēng)滿(mǎn)足的點(diǎn)有拋物線的內(nèi)部.若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，試求直線與拋物線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2．過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，求直線所在的直線方程和線段的長(zhǎng)度.

［剖析］由點(diǎn)差法可容易求解出直線方程，知道直線方程，借助弦長(zhǎng)公式可求出線段的長(zhǎng)度。本題采用了設(shè)而不求的方法，即設(shè)點(diǎn)，代入，作差，借助于直線的斜率解題方法，這種方法稱(chēng)為“點(diǎn)差法”，是解析幾何解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用的技巧之一，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行訓(xùn)練.

［解］設(shè)，由得，顯然不合題意，，，，從而直線的方程為，即.

由，得，

.

［警示］本題還可以設(shè)出直線的方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出直線的斜率.直線與橢圓相交，出現(xiàn)中點(diǎn)弦問(wèn)題的常規(guī)處理方法有三種：(1)通過(guò)方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；(2)點(diǎn)差法，設(shè)出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；(3)中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法，先設(shè)出一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助中點(diǎn)設(shè)出另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，而后消去二次項(xiàng).

［變式訓(xùn)練］

6．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是　　　　　　　 .

[典例精析]

例1．已知直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值。

［剖析］首先考慮曲線是否是拋物線，當(dāng)時(shí)，是直線，因此要對(duì)進(jìn)行討論，然后就時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線組成的方程組進(jìn)行求解。

［解］聯(lián)立方程

(1)當(dāng)時(shí)，此方程組恰有組解 ；

(2)當(dāng)時(shí)，消去，得；

①當(dāng)，即時(shí)，方程變?yōu)橐辉�一次方�?sub>，方程恰有一組解；

②若，即時(shí)，令，得，解得，此時(shí)直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)，或時(shí)，直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)。

［警示］本題設(shè)計(jì)了兩個(gè)思維陷阱，第一個(gè)就是同學(xué)們?cè)趯徴?qǐng)的過(guò)程中往往視的情況，誤認(rèn)為對(duì)應(yīng)的曲線就是拋物線；第二個(gè)是在解答的過(guò)程中不討論二次項(xiàng)系數(shù)即的可能，從而漏掉兩個(gè)解.另外，在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)特別注意并不是直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件.事實(shí)上，求曲線與曲線的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是它們的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)。在具體解方程時(shí)，需要比較消去與消去哪個(gè)簡(jiǎn)單，從而選擇恰當(dāng)?shù)南麉⒎绞剑�還要注意只是是直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的充分不必要條件.

［變式訓(xùn)練］：

5．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直與軸的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，則以為圓心，為直徑的圓的方程是　　　　　　　　　　　 .

4．(2005年濟(jì)南模擬試題)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)使的面積等于12，這樣的點(diǎn)C共有(　　 )

(A)1個(gè)　　　　　　　 (B)2個(gè)　　　　　 (C)3個(gè)　　　　　　　 (D)4個(gè)

3．拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　 )

(A) 　　(B) 　　　(C) 　　　　(D)

2．與直線平行的拋物線的切線方程為(　　 )

(A)　　 (B) 　(C) 　　(D)