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15．甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈．根據(jù)以往資料知，甲擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6、0.3、0.1，乙擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.4、0.4、0.2.設(shè)甲、乙的射擊相互獨(dú)立．

(1)求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率；

(2)求在獨(dú)立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率．

解：記A₁，A₂分別表示甲擊中9環(huán)，10環(huán)，

B₁，B₂分別表示乙擊中8環(huán)，9環(huán)，

A表示在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，

B表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，

C₁，C₂分別表示三輪中恰有兩輪、三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)．

(1)A＝A₁·B₁+A₂·B₁+A₂·B₂，

P(A)＝P(A₁·B₁+A₂·B₁+A₂·B₂)

＝P(A₁·B₁)+P(A₂·B₁)+P(A₂·B₂)

＝P(A₁)·P(B₁)+P(A₂)·P(B₁)+P(A₂)·P(B₂)

＝0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4＝0.2.

(2)B＝C₁+C₂，

P(C₁)＝C[P(A)]²[1－P(A)]＝3×0.2²×(1－0.2)＝0.096，

P(C₂)＝[P(A)]³＝0.2³＝0.008，

P(B)＝P(C₁+C₂)＝P(C₁)+P(C₂)＝0.096+0.008＝0.104.

14．設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為和，且各次射擊相互獨(dú)立．

(Ⅰ)若甲、乙各射擊一次，求甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率；

(Ⅱ)若甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標(biāo)的次數(shù)相等的概率．

解：(Ⅰ)設(shè)A表示甲命中目標(biāo)，B表示乙命中目標(biāo)，則A、B相互獨(dú)立，且P(A)＝，P(B)＝.從而甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率為

P(A)＝P(A)P()＝×(1－)＝.

(Ⅱ)設(shè)A_k表示甲在兩次射擊中恰好命中k次，B_l表示乙在兩次射擊中恰好命中l次．

依題意有

P(A_k)＝C()^k()^2－k，k＝0,1,2.

P(B_l)＝C()^l()^2－l，l＝0,1,2.

由獨(dú)立性知兩人命中次數(shù)相等的概率為

P(A₀B₀)+P(A₁B₁)+P(A₂B₂)

＝P(A₀)P(B₀)+P(A₁)P(B₁)+P(A₂)P(B₂)

＝()²·()²+C···C··+C·()²·C·()²

＝×+×+×＝＝0.4825.

13．已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的5個(gè)紅球和4個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．

(Ⅰ)求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；

(Ⅱ)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率．

解：本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

(Ⅰ)設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件B.由于事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝＝，P(B)＝＝.

故取出的4個(gè)球均為紅球的概率是

P(A·B)＝P(A)·P(B)＝×＝.

(Ⅱ)設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件D.由于事件C，D互斥，且

P(C)＝·＝，

P(D)＝·＝.

故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為

P(C+D)＝P(C)+P(D)＝+＝.

12．(2008·湖南)甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：

(1)至少有1人面試合格的概率；

(2)沒有人簽約的概率．

解：用A、B、C 分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A、B、C 相互獨(dú)立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

(1)至少有1人面試合格的概率是1－P(··)＝1－P()P()P()＝1－()³＝.

(2)沒有人簽約的概率為

P(·B·)+P(··C)+P(··)

＝P()P(B)P()+P()P()P(C)+P()P()P()

＝()³+()³+()³＝.

11．在等差數(shù)列{a_n}中，a₄＝2，a₇＝－4，現(xiàn)從{a_n}的前10項(xiàng)中隨機(jī)取數(shù)，每次取出一個(gè)數(shù)，取后放回，連續(xù)抽取3次，假定每次取數(shù)互不影響，那么在這三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為__________(用數(shù)字作答)．

答案：

解析：由a₄＝2，a₇＝－4可得等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝10－2n(n＝1,2，…，10)；由題意，三次取數(shù)相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中取得正數(shù)的概率為，取得負(fù)數(shù)的概率為，在三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為C()²()¹＝.

10．(2008·溫州十校)甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)．在同一時(shí)刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0.8、0.75，則在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為________．

答案：0.95

解析：甲、乙兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)都不準(zhǔn)確的概率為(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，所以至少有一顆預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為1－0.05＝0.95.

9．(2007·湖北)某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為__________．(用數(shù)值作答)

答案：

解析：由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可得

C()³(1－)^10－3＝.故填.

8．有3個(gè)相識(shí)的人某天各自乘火車外出，假設(shè)火車有10節(jié)車廂，那么至少有2個(gè)在車廂內(nèi)相遇的概率為(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：B

解法一：設(shè)A表示“至少有2人在車廂內(nèi)相遇”的事件，A₁表示“恰有2人在車廂內(nèi)相遇”的事件，A₂表示“3人在同一車廂內(nèi)相遇”的事件，那么A＝A₁+A₂，且A₁、A₂彼此互斥．

又P(A₁)＝，P(A₂)＝，

∴P(A)＝P(A₁)+P(A₂)＝＝.

解法二：事件A的對(duì)立事件為“3人分別在3節(jié)車廂”．

則P()＝，

∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.

7．(2009·河南調(diào)考)某班級(jí)要從5名男生、3名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有一名女生，那么選派的4人中恰好有2名女生的概率為(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：D

解析：從5名男生、3名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，至少有一名女生的選法有CC+CC+CC，恰好有2名女生的選法有CC，則所求概率為，故選D.

6．一臺(tái)X型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000，有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是(　)

A．0.1536　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0.1808

C．0.5632　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0.9728

答案：D

解析：“一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看”的事件，有0,1,2臺(tái)需要照看三種可能，因此所求概率為

P＝C×0.2⁰×0.8⁴+C×0.2¹×0.8³+C×0.2²×0.8²＝0.9728，

或1－(C×0.2³×0.8+C×0.2⁴)＝0.9728.故選D.