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5.二次曲線在高考中的應(yīng)用

二次曲線在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)。通過以二次曲線為載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)。本文關(guān)注近年部分省的高考二次曲線問題，給予較深入的剖析，這對形成高三復(fù)習(xí)的新的教學(xué)理念將有著積極的促進(jìn)作用。

(1).重視二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。

(2).重視二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)聯(lián)系。

(3).重視二次曲線性質(zhì)與數(shù)列的有機(jī)結(jié)合。

(4).重視解析幾何與立體幾何的有機(jī)結(jié)合。

4. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(在這里我們把圓包括進(jìn)來)

(1).首先會判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的

　　 a.直線與圓：一般用點(diǎn)到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實(shí)根的個數(shù)來判斷(解析法).

b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離

c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性

(2).a.求弦所在的直線方程;;b.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程

(3).已知一點(diǎn)A坐標(biāo)，一直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P、Q，且中點(diǎn)為A，求P、Q所在的直線方程

(4).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求某個值的取值范圍(或者是圓錐曲線上否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱)

3.圓錐曲線

(1).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

　橢圓＝1的參數(shù)方程為：(為參數(shù))。

(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

雙曲線＝1的參數(shù)方程為：(為參數(shù))。

　(3).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

平面內(nèi)，到一個定點(diǎn)F和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，叫做拋物線。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。

四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：，，其中：

① 參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。

②標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項(xiàng)變量就是， 若的一次項(xiàng)前符號為正，則開口向右，若的一次項(xiàng)前符號為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項(xiàng)變量就是， 當(dāng)的一次項(xiàng)前符號為正，則開口向上，若的一次項(xiàng)前符號為負(fù)，則開口向下。

拋物線的簡單幾何性質(zhì)

方程	設(shè)拋物線
性質(zhì)	焦點(diǎn)	范圍	對稱性	頂點(diǎn)	離心率	準(zhǔn)線	通徑
		關(guān)于軸對稱	原點(diǎn)

拋物線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))。

　(4).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義

與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線，定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0＜e＜1時，是橢圓，當(dāng)e＞1時，是雙曲線，當(dāng)e＝1時，是拋物線．

3．參數(shù)方程與普通方程

　我們現(xiàn)在所學(xué)的曲線方程有兩大類，其一是普通方程，它直接給出了曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系；其二是參數(shù)方程，它是通過參數(shù)建立了曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的(間接)關(guān)系，參數(shù)方程中的參數(shù)，可以明顯的物理、幾何意義，也可以無明顯意義．

　要搞清楚參數(shù)方程與含有參數(shù)的方程的區(qū)別，前者是利用參數(shù)將橫、縱坐標(biāo)間接地連結(jié)起來，

2．二元二次方程是圓方程的充要條件

　“A=C≠0且B=0”是一個一般的二元二次方程表示圓的必要條件．

　二元二次方程表示圓的充要條件為“A=C≠0、B=0且”，它可根據(jù)圓的一般方程推導(dǎo)而得．

2. 圓

　(1)圓方程的三種形式

　標(biāo)準(zhǔn)式：，其中點(diǎn)(a，b)為圓心，r>0，r為半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個待定系數(shù)，使用該方程的最大優(yōu)點(diǎn)是可以方便地看出圓的圓心坐標(biāo)與半徑的大�。�

　一般式：，其中為圓心為半徑，，圓的一般方程中也有三個待定系數(shù)，即D、E、F．若已知條件中沒有直接給出圓心的坐標(biāo)(如題目為：已知一個圓經(jīng)過三個點(diǎn)，求圓的方程)，則往往使用圓的一般方程求圓方程．

　參數(shù)式：以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的圓的參數(shù)方程是(其中θ為參數(shù))．

　以(a，b)為圓心、r為半徑的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，θ的幾何意義是：以垂直于y軸的直線與圓的右交點(diǎn)A與圓心C的連線為始邊、以C與動點(diǎn)P的連線為終邊的旋轉(zhuǎn)角，如圖所示．

　三種形式的方程可以相互轉(zhuǎn)化，其流程圖為：

1．直線

(1).直線的傾斜角和斜率

直線的的斜率為k，傾斜角為α，它們的關(guān)系為：k＝tanα；

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則。

(2) .直線的方程

a.點(diǎn)斜式：；　 b.斜截式：；

c.兩點(diǎn)式：；　 d.截距式：；

e.一般式：，其中A、B不同時為0.

　(3).兩直線的位置關(guān)系

兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行(沒有公共點(diǎn))；相交(有且只有一個公共點(diǎn))；重合(有無數(shù)個公共點(diǎn)).在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交。

若直線、的斜率分別為、，則

∥＝，⊥·＝－1。

(4)點(diǎn)、直線之間的距離

點(diǎn)A(x0，y0)到直線的距離為：d=。

兩點(diǎn)之間的距離：|AB|=

2、平面向量與三角函數(shù)的交匯是近年來的考查熱點(diǎn)，一般服出現(xiàn)在解答題的前三大題里，在復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)這種類型試題的訓(xùn)練。

1、平面向量部分的復(fù)習(xí)應(yīng)該注重向量的工具作用，緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合思想，揚(yáng)長避短，解決問題；

(二)09高考預(yù)測

預(yù)計(jì)向量基本概念、向量基本運(yùn)算等基礎(chǔ)問題，通常為選擇題或填空題出現(xiàn)；而用向量與三角函數(shù)、解三角形等綜合的問題，通常為解答題，難度以中檔題為主。