2. 復習中，對于排列組合應用題，注意從不同的角度去進行求解，以開闊思維，提高解題能力.
1. 對于一些容易混淆的概念，如排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)、排列與組合、二項式系數(shù)與二項展開式中各項的系數(shù)等，應注意弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.
4、關于統(tǒng)計
(1)對簡單隨機抽樣公平性的理解，即每一次抽取時每個個體被抽到的可能性相等．
(2)隨機數(shù)表產(chǎn)生的隨機性．計算器和許多計算機數(shù)學軟件都能很方便地生成隨機數(shù)表．
(3)系統(tǒng)抽樣中當總體個數(shù)N不能被樣本容量整除時，應注意如何從總體中剔除一些個體．
(4)用系統(tǒng)抽樣法在第一段抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣，因此第一段內(nèi)每個個體被抽到的可能性相同，而總體中個體編號也是隨機的，所以保證了整個系統(tǒng)抽樣的公平性．
(5)分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況．每一層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性也是相同的．
(6)分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，在各層抽樣時，根據(jù)具體情況可采用不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實踐中有著廣泛的應用．
2009高考預測
2009年高考中，本節(jié)的內(nèi)容還是一個重點考查的內(nèi)容，因為這部分內(nèi)容與實際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，排列、組合、概率、統(tǒng)計都將是重點考查內(nèi)容，至少會考查其中的兩種類型。
3.求事件發(fā)生的概率的處理方法和技巧
⑴ 解決等可能性事件的概率問題的關鍵是：正確求出基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)，這就需要有較好的排列、組合知識.
⑵ 要注意恰有k次發(fā)生和指定的k次發(fā)生的關系，對獨立重復試驗來說，前者的概率為C
pk(1―p)n―k，后者的概率為pk(1―p)n―k.
(3)計算古典概型問題的關鍵是怎樣把一個事件劃分為基本事件的和的形式，以便準確計算事件A所包含的基本事件的個數(shù)和總的基本事件個數(shù)；計算幾何概型問題的關鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉化為相應類型的幾何概型問題，及準確計算事件A所包含的基本事件對應的區(qū)域的長度、面積或體積．
(4)在古典概型問題中，有時需要注意區(qū)分試驗過程是有序還是無序；在幾何概型問題中需注意先判斷基本事件是否是“等可能”的．
(5)幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結果．
2.二項定理問題的處理方法和技巧
⑴ 運用二項式定理一定要牢記通項Tr+1 =C
an－rbr，注意(a +b)n與(b+a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.
⑵ 對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：
①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；
②關于組合恒等式的證明，常采用“構造法”--構造函數(shù)或構造同一問題的兩種算法；
③證明不等式時，應注意運用放縮法.
⑶ 求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求Tr+1，有時還需先求n，再求r，才能求出Tr+1.
⑷ 有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.
⑸ 對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.
⑹ 近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項.
⑺ 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來解決.
1.排列組合應用題的處理方法和策略
⑴ 使用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理要根據(jù)我們完成某件事情時采取的方式而定，分類來完成這件事情時用分類計數(shù)原理，分步驟來完成這件事情時用分步計數(shù)原理.怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情.所以準確理解兩個原理的關鍵在于明確：分類計數(shù)原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此之間交集為空集，并集為全集，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成事件；分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.
⑵ 排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關.
⑶ 復雜的排列問題常常通過試驗、畫簡圖、小數(shù)字簡化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難以直接檢驗，因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗.
⑷ 按元素的性質(zhì)進行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合問題的基本思想方法，要注意題設中“至少”“至多”等限制詞的意義.
⑸ 處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本方法和原理，通過解題訓練要注意積累分類和分步的基本技能.
⑹ 在解決排列組合綜合性問題時，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定--問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與組合數(shù)性質(zhì).容易產(chǎn)生的錯誤是重復和遺漏計數(shù).
常見的解題策略有以下幾種：
①特殊元素優(yōu)先安排的策略；
②合理分類與準確分步的策略；
③排列、組合混合問題先選后排的策略；
④正難則反、等價轉化的策略；
⑤相鄰問題捆綁處理的策略；
⑥不相鄰問題插空處理的策略；
⑦定序問題除法處理的策略；
⑧分排問題直排處理的策略；
⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；
⑩構造模型的策略.
2、求二項展開式中的多個系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別；
[命題規(guī)律]
歷年高考二項式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習題遷移的改編題，難度不大，重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉化等思想方法。為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。
例4、(2008安徽理)設
則
中奇數(shù)的個數(shù)為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：由題知
，逐個驗證知
，其它為偶數(shù)，選A。
例5、(2008上海理)12.組合數(shù)C(n＞r≥1，n、r∈Z)恒等于( )
A．C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C
解：由
.
例6、(2008浙江文)(6)在
的展開式中，含
的項的系數(shù)是
(A)-15 (B)85 (C)-120 (D)274
解：本題可通過選括號(即5個括號中4個提供
，其余1個提供常數(shù))的思路來完成。故含的項的系數(shù)為
例7、(2008重慶文) (10)若(x+
)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項的系數(shù)為
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解：因為
的展開式中前三項的系數(shù)
、
、
成等差數(shù)列，所以
，即
，解得：
或
(舍)。
。令
可得，
，所以
的系數(shù)為
，故選B。
考點三：概率
[內(nèi)容解讀]概率試題主要考查基本概念和基本公式，對等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨立事件的概率、事件在n次獨立重復試驗中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等內(nèi)容都進行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。
[命題規(guī)律](1)概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6%-10%，試題的難度為中等或中等偏易。
(2)概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設問巧、并賦予時代氣息、貼近學生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學試卷新的設計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。
例8、(2008江蘇)在平面直角坐標系
中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，向D中隨意投一點，則落入E中的概率為
。
解：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此
。
答案
點評：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。
例9、(2008重慶文)(9)從編號為1,2,…,10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為
(A)
(B)
(C)
(D)
解：
，故選B。
點評：本小題主要考查組合的基本知識及等可能事件的概率。
例10、(2008山東理)在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為
(A)
(B)
(C)
(D)
解：基本事件總數(shù)為
。
選出火炬手編號為
，
時，由
可得4種選法；
時，由
可得4種選法；
時，由
可得4種選法。
點評：本題考查古典概型及排列組合問題。
例11、(2008福建理)(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為
,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解：獨立重復實驗
，
例12、(2008陜西省理)某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標即終止射擊，第
次擊中目標得
分，3次均未擊中目標得0分．已知某射手每次擊中目標的概率為0.8，其各次射擊結果互不影響．
(Ⅰ)求該射手恰好射擊兩次的概率；
(Ⅱ)該射手的得分記為
，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．
解： (Ⅰ)設該射手第次擊中目標的事件為
，則
，
．
(Ⅱ)可能取的值為0，1，2，3． 的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
 |
0.008 |
0.032 |
0.16 |
0.8 |
.
例13、(2008廣東卷17)．隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為．
(1)求的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即的數(shù)學期望)；
(3)經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為
，一等品率提高為
．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
解：的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列為：
|
|
6 |
2 |
1 |
-2 |
|
|
0.63 |
0.25 |
0.1 |
0.02 |
(2)
(3)設技術革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為
依題意，
，即
，解得
所以三等品率最多為
考點四：統(tǒng)計
[內(nèi)容解讀]理解簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點及步驟．會用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會用樣本頻率分布估計總體分布．會用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征．會利用散點圖和線性回歸方程，分析變量間的相關關系；掌握獨立性檢驗的步驟與方法。
[命題規(guī)律](1)概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6%-10%，試題的難度為中等或中等偏易。
(2)概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設問巧、并賦予時代氣息、貼近學生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學試卷新的設計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。
例14、(2007廣東)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生
產(chǎn)能耗Y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
2.5 |
3 |
4 |
4.5 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關于x的線性回歸方程Y=bx+a；
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤?
(參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散點圖略.
(2)
, 
, 
, 
由所提供的公式可得
,故所求線性回歸方程為
10分
(3)
噸.
例15、(2008江蘇模擬)為了研究某高校大學新生學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列
的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列
的前六項．
(Ⅰ)求等比數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求等差數(shù)列的通項公式；
(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學生屬于近視學生,試估計該校新生的近視率
的大小.
解：(I)由題意知：
，
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比
∴
.
(II) ∵
=13,
∴
，
∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設數(shù)列公差為
，則得，
∴
＝87，
，
， 
(III)=
,
(或=
)
答:估計該校新生近視率為91%.
例16、(2008江蘇模擬)某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
|
日 期 |
1月10日 |
2月10日 |
3月10日 |
4月10日 |
5月10日 |
6月10日 |
|
晝夜溫差x(°C) |
10 |
11 |
13 |
12 |
8 |
6 |
|
就診人數(shù)y(個) |
22 |
25 |
29 |
26 |
16 |
12 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；(5分)
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程
；(6分)
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)
(參考公式: 
)
解：(Ⅰ)設抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A.因為從6組數(shù)據(jù)中選
取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的
其中,抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種
所以
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得
由公式求得
再由
所以
關于的線性回歸方程為
(Ⅲ)當
時,
, 
；
同樣, 當
時,
, 
所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.
1、求二項展開式中的指定項問題：方法主要是運用二項式展開的通項公式；
2、解排列組合題的基本方法：
優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；
位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；
排異法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。
分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結論；注意：分類不重復不遺漏。
分步處理：對某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。
插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。
捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。
窮舉法：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題。
[命題規(guī)律]排列組合的知識在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中等。
例1、(2008安徽理) 12名同學合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是( )
A．
B．
C．
D．
解：從后排8人中選2人共
種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為
；綜上知選C。
例2、(2008全國II理)12．如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為
(A)96 (B) 84
(C) 60 (D) 48
解：分三類：種兩種花有
種種法；種三種花有
種種法；種四種花有
種種法.共有
.
例3、(2008陜西省理)16．某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種．(用數(shù)字作答)
解：分兩類：第一棒是丙有
,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案
種
考點二：二項式定理
[內(nèi)容解讀]掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題。對二項式定理的考查主要有以下兩種題型：
考點一：排列組合
[方法解讀]
1、解排列組合題的基本思路：
將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步
對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎闶墙饨M合題的常用方法；
是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；
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