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3．注意等差、等比數(shù)列的前n項和的特征在解題中的應(yīng)用；

2．注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用；

在進行數(shù)列二輪復(fù)習(xí)時，建議可以具體從

以下幾個方面著手:

1．運用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問題；

(二)2009年高考預(yù)測

1. 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。

2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.

3. 等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。

4. 求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.

5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。今后在這方面還會體現(xiàn)的更突出。

7、數(shù)列與程序框圖的綜合題應(yīng)引起高度重視。

(一)方法總結(jié)

1. 求數(shù)列的通項通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項。

2. 數(shù)列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項的形式。

3. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應(yīng)是命題的一個方向。

考點一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

例1. (2008深圳模擬)已知數(shù)列

(1)求數(shù)列的通項公式；　 (2)求數(shù)列

解：(1)當；、

　　 當，

、

　 (2)令

　　 當；

　　　 　當

綜上，　

　點評：本題考查了數(shù)列的前n項與數(shù)列的通項公式之間的關(guān)系，特別要注意n＝1時情況，在解題時經(jīng)常會忘記。第二問要分情況討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．

例2、(2008廣東雙合中學(xué))已知等差數(shù)列的前n項和為，且，. 數(shù)列是等比數(shù)列，(其中).

　 (I)求數(shù)列和的通項公式；(II)記.

解：(I)公差為d，

則 .

　　　 設(shè)等比數(shù)列的公比為，　 　 　

　　　 .

　 (II) 　

作差：

　　 .　

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識，第二問，求前n項和的解法，要抓住它的結(jié)特征，一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列之積，乘以2后變成另外的一個式子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。

考點二：求數(shù)列的通項與求和

例3.(2008江蘇)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第行()從左向右的第3個數(shù)為　　　　　

解：前n－1 行共有正整數(shù)1+2+…+(n－1)個，即個，因此第n 行第3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個，即為．

點評：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點在于求出數(shù)列的通項，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

例4.(2008深圳模擬)圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第個圖形包含個“福娃迎迎”，則　　；＿＿＿＿

解：第1個圖個數(shù)：1

第2個圖個數(shù)：1+3+1

第3個圖個數(shù)：1+3+5+3+1

第4個圖個數(shù)：1+3+5+7+5+3+1

第5個圖個數(shù)：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，

所以，f(5)＝41

f(2)-f(1)=4 ，f(3)-f(2)=8，f(4)-f(3)=12，f(5)-f(4)=16

點評：由特殊到一般，考查邏輯歸納能力，分析問題和解決問題的能力，本題的第二問是一個遞推關(guān)系式，有時候求數(shù)列的通項公式，可以轉(zhuǎn)化遞推公式來求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。

考點三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系

例5.(2009屆高三湖南益陽)已知等比數(shù)列的首項為，公比滿足。又已知，，成等差數(shù)列。

　 (1)求數(shù)列的通項　

　 (2)令，求證：對于任意，都有

(1)解：∵　 ∴　 ∴

　　 ∵　　 ∴　　 ∴　

(2)證明：∵　 ，

　 ∴

點評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第(2)問，采用裂項相消法法，求出數(shù)列之和，由n的范圍證出不等式。

例6、(2008遼寧理) 在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列()

(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)證明：．

解：(Ⅰ)由條件得由此可得

．

猜測．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，即

，

那么當n=k+1時，

．

所以當n=k+1時，結(jié)論也成立．

由①②，可知對一切正整數(shù)都成立．

(Ⅱ)．

n≥2時，由(Ⅰ)知．

故

綜上，原不等式成立．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．

例7. (2008安徽理)設(shè)數(shù)列滿足為實數(shù)

(Ⅰ)證明：對任意成立的充分必要條件是；

(Ⅱ)設(shè)，證明：;

(Ⅲ)設(shè)，證明：

解： (1) 必要性 ： ，

　　　　　　　　 又 　，即

充分性 ：設(shè)　 ，對用數(shù)學(xué)歸納法證明

　　　　 當時，.假設(shè)

　　　　 則，且

，由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立

　　 (2) 設(shè) ，當時，，結(jié)論成立

　　　　 當 時，

　　　　　 ,由(1)知，所以 　且 　

(3) 設(shè) ，當時，，結(jié)論成立

　當時，由(2)知

點評：本題是數(shù)列、充要條件、數(shù)學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意，加強訓(xùn)練。

考點四：數(shù)列與函數(shù)、概率等的聯(lián)系

例題8.. (2008福建理) 已知函數(shù).

　(Ⅰ)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為Sn，其中a1=3.若點(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(n,Sn)也在y=f′(x)的圖象上；

　(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.

　　 (Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x2+2x,

　　 由點在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,

　　 又所以

　　 所以,又因為′(n)=n2+2n,所以,

　　 故點也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

當x變化時,﹑的變化情況如下表:

注意到,從而

①當,此時無極小值；

②當的極小值為,此時無極大值；

③當既無極大值又無極小值.

點評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.

　例9 、(2007江西理)將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)

列的概率為(　)

　A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

　　解：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個，其中為等差數(shù)列有三類：(1)公差為0的有6個；(2)公差為1或-1的有8個；(3)公差為2或-2的有4個，共有18個，

成等差數(shù)列的概率為，選B

點評：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時要做到不遺漏，不重復(fù)。

考點五：數(shù)列與程序框圖的聯(lián)系

例10、(2009廣州天河區(qū)模擬)根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ)寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數(shù)列{yn}；

的一個通項公式y(tǒng)n，并證明你的結(jié)論;

(Ⅲ)求．

解：(Ⅰ)由框圖，知數(shù)列

∴

(Ⅱ)y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.

由此，猜想

證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，yn+1=3yn+2

∴

∴　　

∴數(shù)列{yn+1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列。

∴+1=3·3n－1=3n

∴=3n－1()　

(Ⅲ)zn=

=1×(3－1)+3×(32－1)+…+(2n－1)(3n－1)

=1×3+3×32+…+(2n－1)·3n－[1+3+…+(2n－1)]

記Sn=1×3+3×32+…+(2n－1)·3n，①　　　　　　　

則3Sn=1×32+3×33+…+(2n－1)×3n+1　 ②　　

①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－(2n－1)·3n+1

=2(3+32+…+3n)－3－(2n－1)·3n+1

=2×=

∴　　　　　　　

又1+3+…+(2n－1)=n2

∴.

　點評：程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標背景下的新鮮事物，因為程序框圖中循環(huán)，與數(shù)列的各項一一對應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視。

2．等差數(shù)列和等比數(shù)列的比較

　(1)定義：從第2項起每一項與它前一項的差等于同一常數(shù)的數(shù)列叫等差數(shù)列；從第2項起每一項與它前一項的比等于同一常數(shù)(不為0)的數(shù)列叫做等比數(shù)列．

　(2)遞推公式：．

　(3)通項公式：．

　(4)性質(zhì)

　等差數(shù)列的主要性質(zhì)：

　①單調(diào)性：時為遞增數(shù)列，時為遞減數(shù)列，時為常數(shù)列．

�、谌�，則．特別地，當時，有．

�、�．

　④成等差數(shù)列．

　等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

�、賳握{(diào)性：當或時，為遞增數(shù)列；當，或時，為遞減數(shù)列；當時，為擺動數(shù)列；當時，為常數(shù)列．

�、谌�，則．特別地，若，則．

�、�．

�、�，…，當時為等比數(shù)列；當時，若為偶數(shù)，不是等比數(shù)列．若為奇數(shù)，是公比為的等比數(shù)列．

1．數(shù)列的概念及表示方法

　(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)．

　(2)表示方法：列表法、解析法(通項公式法和遞推公式法)、圖象法．

　(3)分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關(guān)系可分為單調(diào)數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列．

　(4)與的關(guān)系：．

4、注意復(fù)習(xí)求線性回歸方程的方法，回歸分析方法，獨立性檢驗的方法及其應(yīng)用問題。

3. 注意體會解決概率應(yīng)用題的思考方法，正向思考時要善于將較復(fù)雜的問題進行分解，解決有些問題時還要學(xué)會運用逆向思考的方法.