(二)2009年高考預(yù)測(cè)
從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個(gè)解答題，1至3個(gè)填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系、線(xiàn)面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來(lái)求解． 高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力 . 近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線(xiàn)所成的角、二面角，證明線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行和證明異面直線(xiàn)垂直和線(xiàn)面垂直等基本問(wèn)題。
高考對(duì)立體幾何的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面：
1．從命題形式來(lái)看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變 . 除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開(kāi)發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問(wèn)題，此類(lèi)考題往往以多面體為依托，第一小問(wèn)考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，后面幾問(wèn)考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作--證--求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。
2．從內(nèi)容上來(lái)看，主要是：①考查直線(xiàn)和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類(lèi)試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；②計(jì)算角的問(wèn)題，試題中常見(jiàn)的是異面直線(xiàn)所成的角，直線(xiàn)與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類(lèi)試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)所成的角；③求距離，試題中常見(jiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離，直線(xiàn)到平面的距離，要特別注意解決此類(lèi)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法；④簡(jiǎn)單的幾何體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，解此類(lèi)問(wèn)題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問(wèn)題；⑤體積問(wèn)題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。⑥三視圖，辨認(rèn)空間幾何體的三視圖，三視圖與表面積、體積內(nèi)容相結(jié)合。
3．從能力上來(lái)看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀(guān)察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：①會(huì)畫(huà)圖--根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出適合題意的圖形或畫(huà)出自己想作的輔助線(xiàn)(面)，作出的圖形要直觀(guān)、虛實(shí)分明；②會(huì)識(shí)圖--根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線(xiàn)面的位置關(guān)系；③會(huì)析圖--對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會(huì)用圖--對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開(kāi)或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。
(一)方法總結(jié)
1．位置關(guān)系：
(1)兩條異面直線(xiàn)相互垂直
證明方法：①證明兩條異面直線(xiàn)所成角為90º；②證明線(xiàn)面垂直，得到線(xiàn)線(xiàn)垂直；③證明兩條異面直線(xiàn)的方向量相互垂直。
(2)直線(xiàn)和平面相互平行
證明方法：①證明直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)相互平行；②證明這條直線(xiàn)的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；③證明這條直線(xiàn)的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。
(3)直線(xiàn)和平面垂直
證明方法：①證明直線(xiàn)和平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直，②證明直線(xiàn)的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)向量都垂直；③證明直線(xiàn)的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。
(4)平面和平面相互垂直
證明方法：①證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90º；②證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于另外一個(gè)平面；③證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。
2．求距離：
求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線(xiàn)到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。
(1)兩條異面直線(xiàn)的距離
求法：利用公式法。
(2)點(diǎn)到平面的距離
求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。②等體積法。③向量法。
3．求角
(1)兩條異面直線(xiàn)所成的角
求法：①先通過(guò)其中一條直線(xiàn)或者兩條直線(xiàn)的平移，找出這兩條異面直線(xiàn)所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；②通過(guò)兩條異面直線(xiàn)的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線(xiàn)所成角得范圍是
，向量所成的角范圍是
，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。
(2)直線(xiàn)和平面所成的角
求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。②向量法，先求直線(xiàn)的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為
或
。
(3)平面與平面所成的角
求法：①“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。②向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為α，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為α或π－α。
考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀(guān)圖
[內(nèi)容解讀]了解柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀(guān)圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會(huì)畫(huà)某建筑物的視圖與直觀(guān)圖。
空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀(guān)察能力、歸納能力和空間想象能力，能通過(guò)觀(guān)察幾何體的模型和實(shí)物，總結(jié)出柱、錐、臺(tái)、球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征；能識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體，會(huì)用材料制作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力。
[命題規(guī)律]柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征在舊教材中出現(xiàn)過(guò)，而三視圖為新增內(nèi)容，一般情況下，新增內(nèi)容會(huì)重點(diǎn)考查，從2007年、2008年廣東、山東、海南的高考題來(lái)看，三視圖是出題的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題為主，也有出現(xiàn)在解答題里，如2007年廣東高考就出現(xiàn)在解答題里，屬中等偏易題。
例1、(2008廣東)將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示
分別是
三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱(chēng)左視圖)為( )
解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。
例2、(2008江蘇模擬)由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是 ．
解：以俯視圖為主，因?yàn)橹饕晥D左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個(gè)木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個(gè)幾何體的正方體木塊數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè)。
點(diǎn)評(píng)：從三視圖到確定幾何體，應(yīng)根據(jù)主視圖和俯視圖情況分析，再結(jié)合左視圖的情況定出幾何體，最后便可得出這個(gè)立體體組合的小正方體個(gè)數(shù)。
考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積和體積
[內(nèi)容解讀]理解柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算方法，了解它們的側(cè)面展開(kāi)圖，及其對(duì)計(jì)算側(cè)面積的作用，會(huì)根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計(jì)算方法。
把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法，并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。
[命題規(guī)律]柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積以公式為主，按照新課標(biāo)的要求，體積公式不要求記憶，只要掌握表面積的計(jì)算方法和體積的計(jì)算方法即可。因此，題目從難度上講屬于中檔偏易題。
例3、(2007廣東)已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱(chēng)主
視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱(chēng)左視
圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．
(1)求該幾何體的體積V；
(2)求該幾何體的側(cè)面積S
解: 由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD。
(1) 
(2) 該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為
, 另兩個(gè)側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB邊上的高為 
因此 
點(diǎn)評(píng)：在課改地區(qū)的高考題中，求幾何體的表面積與體積的問(wèn)題經(jīng)常與三視圖的知識(shí)結(jié)合在一起，綜合考查。
例4、(2008山東)右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是( )
A．
B．
C．
D．
解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的簡(jiǎn)單幾何體，
其表面及為：
，故選D。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積。既要能識(shí)別簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，又要掌握基本幾何體的表面積的計(jì)算方法。
例5、(湖北卷3)用與球心距離為
的平面去截球，所得的截面面積為
，則球的體積為( )
A. 
B.
C.
D.
解：截面面積為
截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是
，
所以根據(jù)球的體積公式知
，故B為正確答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的一些相關(guān)概念，球的體積公式的運(yùn)用。
考點(diǎn)三：點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系
[內(nèi)容解讀]理解空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，了解四個(gè)公理及其推論；空間兩直線(xiàn)的三種位置關(guān)系及其判定；異面直線(xiàn)的定義及其所成角的求法。
通過(guò)大量圖形的觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍，培養(yǎng)空間想象能力。會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn)、共線(xiàn)、共面的問(wèn)題。
[命題規(guī)律]主要考查平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題為主，難度不大。
例6、如圖1，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且
＝
＝
，則( )
(A)EF與GH互相平行
(B)EF與GH異面
(C)EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線(xiàn)AC上，也可能不在直線(xiàn)AC上
(D)EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線(xiàn)AC上
解：依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因?yàn)镋H＝
BD，
＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線(xiàn)，由公理3可知，點(diǎn)M一定在平面ACB與平面ACD的交線(xiàn)AC上。
選(D)。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線(xiàn)問(wèn)題。利用四個(gè)公理來(lái)證明共點(diǎn)、共線(xiàn)的問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。
例7、(2008全國(guó)二10)已知正四棱錐
的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，
是
的中點(diǎn)，則
所成的角的余弦值為(
)
A．
B．
C．
D．
解：連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為異面直線(xiàn)SD與AE所成的角。設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，則在⊿AEO中，OE＝1,AO＝
，AE=
，
于是
，故選C。
點(diǎn)評(píng)：求異面直線(xiàn)所成的角，一般是平移異面直線(xiàn)中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法或正、余弦定理求解。
考點(diǎn)四：直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)
[內(nèi)容解讀]掌握直線(xiàn)與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線(xiàn)面平行、面面平行，會(huì)用性質(zhì)定理解決線(xiàn)面平行、面面平行的問(wèn)題。
通過(guò)線(xiàn)面平行、面面平行的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀(guān)念及及觀(guān)察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力。
[命題規(guī)律]主要考查線(xiàn)線(xiàn)、面面平行的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線(xiàn)面平行、面面平行為主，屬中檔題。
例8、
(2008安徽)如圖，在四棱錐
中，底面
四邊長(zhǎng)為1的菱形，
, 
, 
,
為
的中點(diǎn)，
為
的中點(diǎn)
(Ⅰ)證明：直線(xiàn)
；
(Ⅱ)求異面直線(xiàn)AB與MD所成角的大�。�
(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。
方法一：(1)證明：取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE
又
(2)
為異面直線(xiàn)
與
所成的角(或其補(bǔ)角)
作
連接
，
所以 與所成角的大小為
(3)
點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作
于點(diǎn)Q，
又 
,線(xiàn)段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離
，
，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為
方法二(向量法)
作
于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線(xiàn)為
軸建立坐標(biāo)系
,
(1)
設(shè)平面OCD的法向量為
,則
即 
取
,解得
(2)設(shè)與所成的角為
,
, 與所成角的大小為
(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為
,則為
在向量上的投影的絕對(duì)值,
由 
, 得
.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為
點(diǎn)評(píng)：線(xiàn)面平行的證明、異面直線(xiàn)所成的角，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，后者較簡(jiǎn)便，但新課標(biāo)地區(qū)文科沒(méi)學(xué)空間向量。
例9、(2008江蘇模擬)一個(gè)多面體的直觀(guān)圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn).
(1)求證：
(2)當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP//平面FMC,并給出證明.
證明：由三視圖可得直觀(guān)圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)連接DB，可知B、N、D共線(xiàn)，且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN 
GN⊥AC
(2)點(diǎn)P在A(yíng)點(diǎn)處
證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GA
G是DF的中點(diǎn)，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC
GA//面FMC 即GP//面FMC
點(diǎn)評(píng)：證明線(xiàn)面平行，在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)與平面外的直線(xiàn)平行，是證明線(xiàn)面平行的關(guān)鍵。
考點(diǎn)五：直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
[內(nèi)容解讀]掌握直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直，會(huì)用性質(zhì)定理解決線(xiàn)面垂直、面面垂直的問(wèn)題。
通過(guò)線(xiàn)面垂直、面面垂直的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀(guān)念及及觀(guān)察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力。
[命題規(guī)律]主要考查線(xiàn)線(xiàn)、面面垂直的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直為主，屬中檔題。
例10、
(2008廣東五校聯(lián)考)正方體ABCD-A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：
(1)D1O//平面A1BC1;
(2)D1O⊥平面MAC.
證明: (1)連結(jié)
分別交
于
在正方體
中,對(duì)角面
為矩形
分別是的中點(diǎn)
四邊形
為平行四邊形
平面
,
平面
平面
(2)連結(jié)
,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為
,
在正方體中,對(duì)角面為矩形且
分別是
的中點(diǎn)
在
中，
，即
在正方體中
平面 
又
，
平面
平面 
又
平面
點(diǎn)評(píng)：證明線(xiàn)面垂直，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，由線(xiàn)線(xiàn)垂直推出線(xiàn)面垂直，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直有時(shí)要用勾股定理的逆定理．
例11、(2008廣東中山模擬)如圖，四棱錐P-ABCD中， PA
平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)．
(I) 求證：平面PDC平面PAD；
(II) 求證：BE//平面PAD．
證明：(1)由PA平面ABCD
平面PDC平面PAD；
(2)取PD中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、AF，由E為PC中點(diǎn)，
得EF為△PDC的中位線(xiàn)，則EF//CD，CD=2EF．
又CD=2AB，則EF=AB．由AB//CD，則EF∥AB．
所以四邊形ABEF為平行四邊形，則EF//AF．
由AF
面PAD，則EF//面PAD．
點(diǎn)評(píng)：證明面面垂直，先證明線(xiàn)面垂直，要證線(xiàn)面垂直，先證明線(xiàn)線(xiàn)垂直．
例12、(2008廣東深圳模擬)如圖，四棱錐
的底面是正方形，
底面
，是
上一點(diǎn)．
(1)求證：平面
平面
；
(2)設(shè)
，
，求點(diǎn)
到平面
的距離；
(1)證明：底面 
且
平面平面
(2)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250213/1010jiajiao.files/image510.gif">，且
，
可求得點(diǎn)到平面的距離為
點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)到面的距離，經(jīng)常采用等體積法，利用同一個(gè)幾何體，體積相等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．
考點(diǎn)六：空間向量
[內(nèi)容解讀]用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”
(1)用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題(幾何問(wèn)題向量化)；
(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問(wèn)題(進(jìn)行向量運(yùn)算)；
(3)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義(回歸幾何問(wèn)題)．
[命題規(guī)律]空間向量的問(wèn)題一般出現(xiàn)在立體幾何的解答題中，難度為中等偏難．
例13、如圖1，直三棱柱
中，
，
，棱
分別是
的中點(diǎn)．
求
的長(zhǎng)；
求
的值．
解：如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系
．
(1)依題意，
得
，
．
(2)依題意，得
，
．
．
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間向量的概念及坐標(biāo)運(yùn)算的基本知識(shí)，考查了空間兩向量的夾角、長(zhǎng)度的計(jì)算公式．解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確地表示點(diǎn)的坐標(biāo)
例14、如圖2，在四棱錐
，底面
為矩形，
底面，
是
上一點(diǎn)，
．已知
．求：
異面直線(xiàn)
與
的距離；
二面角
的大�。�
解：以
為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所在直線(xiàn)分別為
軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)
，則
．
(1)
，
，解得
．
，即
，
又
，故
是異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)．
而
，即異面直線(xiàn)與的距離為1．
(2)作
，并設(shè)
，
，且
，
則
，
可取
．
再作
于
，并設(shè)
，
，且
，則
，
又取
．
由，，可知
與
的夾角就是所求二面角
的大小，
，即所求二面角為
．
點(diǎn)評(píng)：向量法求二面角是一種獨(dú)特的方法，因?yàn)樗坏莻鹘y(tǒng)方法的有力補(bǔ)充，而且還可以另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問(wèn)題．向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：①先作、證二面角的平面角
，再求得二面角的大小為
；②先求二面角兩個(gè)半平面的法向量
(注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外)，再求得二面角的大小為
或其補(bǔ)角；③先分別在二面角兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線(xiàn)(垂足不重合)，又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線(xiàn)的夾角．
例15、 如圖，已知正三棱柱，是
的中點(diǎn)，求證：
平面
．
證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為
，側(cè)棱長(zhǎng)為
，則
，
，
．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，
則
所以
不妨令
，則
．
由于
，得
．
又
平面，
平面．
點(diǎn)評(píng)：平面的法向量是空間向量的一個(gè)重要概念，它在解決立體幾何的許多問(wèn)題中都有很好的應(yīng)用.
10. 空間向量.
(1)a.共線(xiàn)向量：共線(xiàn)向量亦稱(chēng)平行向量，指空間向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)互相平行或重合.
(2)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量
不共面，那么對(duì)空間任一向量
，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使
.
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 
(這里隱含x+y+z≠1).
(3)a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸(對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo))，y軸是縱軸(對(duì)應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)).
①令
=(a1,a2,a3),
，則
，
，
，
∥
。
�！ �
(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：
)
空間兩個(gè)向量的夾角公式
(a＝
，b＝
)。
②空間兩點(diǎn)的距離公式：
.
b.法向量：若向量所在直線(xiàn)垂直于平面
，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作
，如果那么向量叫做平面的法向量.
c.用向量的常用方法：
①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面
的法向量，AB是平面的一條射線(xiàn)，其中
，則點(diǎn)B到平面的距離為
.
②.異面直線(xiàn)間的距離 
(
是兩異面直線(xiàn)，其公垂向量為
，
分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).
③.點(diǎn)
到平面
的距離 
(為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線(xiàn)，
).
④直線(xiàn)與平面所成角
(
為平面的法向量).
⑤利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)
分別是二面角
中平面
的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小(方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角).
二面角
的平面角
或
(，為平面，
的法向量).
9. 平面平行與平面垂直.
(1)空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.
(2)平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.(“線(xiàn)面平行，面面平行”)
推論：垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.
(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線(xiàn)平行.(“面面平行，線(xiàn)線(xiàn)平行”)
(4)兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.
兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線(xiàn)垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面垂直于這個(gè)平面.(“線(xiàn)面垂直，面面垂直”)
(5)兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)也垂直于另一個(gè)平面.
8. 直線(xiàn)與平面平行、直線(xiàn)與平面垂直.
(1)空間直線(xiàn)與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).
(2)直線(xiàn)與平面平行判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.(“線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面平行”)
(3)直線(xiàn)和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行.(“線(xiàn)面平行，線(xiàn)線(xiàn)平行”)
(4)直線(xiàn)與平面垂直是指直線(xiàn)與平面任何一條直線(xiàn)垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直.
直線(xiàn)與平面垂直判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直。
推論：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行.
7. 空間直線(xiàn).
(1)空間直線(xiàn)位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線(xiàn)-共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)-共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)-不同在任一平面內(nèi)。
(2)異面直線(xiàn)判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).(不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn))
(3)平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.
(4)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等
推論：如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成銳角(或直角)相等.
6．平面
(1)對(duì)平面的理解
平面是一個(gè)不加定義、只須理解的最基本的原始概念．
立體幾何中的平面是理想的、絕對(duì)平且無(wú)限延展的模型，平面是無(wú)大小、厚薄之分的．類(lèi)似于我們以前學(xué)的直線(xiàn)，它可以無(wú)限延伸，它是不可度量的．
(2)對(duì)公理的剖析
(1)公理1的內(nèi)容反映了直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，公理1的條件“線(xiàn)上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)”是公理的必要條件，結(jié)論是“線(xiàn)上所有點(diǎn)都在面內(nèi)”．這個(gè)結(jié)論闡述了兩個(gè)觀(guān)點(diǎn)：一是整條直線(xiàn)在平面內(nèi)；二是直線(xiàn)上所有點(diǎn)在平面內(nèi)．
其作用是：可判定直線(xiàn)是否在平面內(nèi)、點(diǎn)是否在平面內(nèi)．
(2)公理2中的“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說(shuō)圖形存在，“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一，確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩方面．這個(gè)術(shù)語(yǔ)今后也會(huì)常常出現(xiàn)，要理解好．
其作用是：一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線(xiàn)共面．
(3)公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系,它的條件簡(jiǎn)而言之是“兩面共一點(diǎn)”，結(jié)論是“兩面共一線(xiàn)，且過(guò)這一點(diǎn)，線(xiàn)唯一”．對(duì)于本公理應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線(xiàn)．
其作用是：其一它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線(xiàn)；其二它可以判定點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線(xiàn)是這兩個(gè)平面的公共交線(xiàn)，則這點(diǎn)在交線(xiàn)上．
5、直觀(guān)圖畫(huà)法
斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則：
(1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使
90°，且
90°．
(2)畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的
軸、
軸和
軸，它們相交于
，并使
45°，
90°。
(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中分別畫(huà)成平行于軸、軸和軸的線(xiàn)段．
(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中長(zhǎng)度相等；平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度取一半．
4、中心投影和平行投影
(1)中心投影：投射線(xiàn)均通過(guò)投影中心的投影。
(2)平行投影：投射線(xiàn)相互平行的投影。
(3)三視圖的位置關(guān)系與投影規(guī)律
三視圖的位置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的下方、左視圖在主視圖的右方．
三視圖之間的投影規(guī)律為：
主、俯視圖---長(zhǎng)對(duì)正；主、左視圖---高平齊；俯、左視圖---寬相等．
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