考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)歸納法
[內(nèi)容解讀]數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個(gè)步驟缺一不可。第一步是命題遞推的基礎(chǔ)；第二步是遞推的依據(jù)，是論證過程的關(guān)鍵。在論證時(shí)，第一步驗(yàn)算n=
中的n不一定為1，根據(jù)題目的要求，有時(shí)可為2，3等。第二步證明n=k+1時(shí)命題也成立的過程中，歸納假設(shè)P(k)起著“已知條件”的作用，必須利用歸納假設(shè)P(k)，恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運(yùn)算推出P(k+1)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。第二步證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。
數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)必要條件，兩者缺一不可，兩步均予以證明才具備了充分性，也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性。
[命題規(guī)律]數(shù)學(xué)歸納法一般出現(xiàn)在解答題中，與數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合，難度屬中等偏難。
例1、(2007全國(guó)1理22)已知數(shù)列
中
，
，
．
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若數(shù)列
中
，
，，證明：
，．
解：(Ⅰ)由題設(shè)：
，
．
所以，數(shù)列
是首項(xiàng)為
，公比為
的等比數(shù)列，
，
即
的通項(xiàng)公式為
，．
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
(ⅰ)當(dāng)
時(shí)，因
，
，所以
，結(jié)論成立．
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)
時(shí)，結(jié)論成立，即
，
也即
．
當(dāng)
時(shí)，
，
又
，
所以 
．
也就是說，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，與數(shù)列、不等式等結(jié)合，屬中等偏難的試題。
例2、(2008浙江)已知數(shù)列，
，
，
．
記：
，
．
求證：當(dāng)
時(shí)，
(Ⅰ)
；(Ⅱ)
；(Ⅲ)
(Ⅰ)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250212/1010jiajiao.files/image195.gif">是方程
的正根，所以
．
②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250212/1010jiajiao.files/image205.gif">
，
所以
．即當(dāng)時(shí)，也成立．
根據(jù)①和②，可知對(duì)任何都成立．
(Ⅱ)證明：由
，
(
)，
得
．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250212/1010jiajiao.files/image178.gif">，所以
．
由及
得
，所以．
(Ⅲ)證明：由
，得
所以
，
于是
，
故當(dāng)
時(shí)，
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/250212/1010jiajiao.files/image246.gif">，所以．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查邏輯推理能力．
考點(diǎn)二：極限的求解
[內(nèi)容解讀]極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，掌握幾個(gè)重要極限的求法，極限的四則運(yùn)算等內(nèi)容；理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限，并會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限．已知函數(shù)的左、右極限，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左右極限．
[命題規(guī)律]極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用，是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)之一。一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。
例3、(2008陜西卷13)
，則
．1
解：
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列極限是高考熱點(diǎn)題型之一，掌握幾種類型的求解方法。
例4、(2008重慶卷)已知函數(shù)f(x)= 
，點(diǎn)在x=0處連續(xù)，則
.
解：
又 
點(diǎn)在x=0處連續(xù)，
所以
即
故
點(diǎn)評(píng)：
在點(diǎn)
處的極限值等于這點(diǎn)的函數(shù)值，即
。函數(shù)
在處連續(xù)，反映在圖像上是的圖像在點(diǎn)x=處是不間斷的。
例5、(2007湖北理)已知
和
是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且
，則
( )
A．0 B．1 C．
D．
解：方法一 特殊值法，由題意取
，
則
，可見應(yīng)選C
方法二 
令
，
分別取和，則原式化為
所以原式=
(分子、分母1的個(gè)數(shù)分別為個(gè)、個(gè))
點(diǎn)評(píng)：本題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法則，可用特殊值探索結(jié)論，即同時(shí)考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則時(shí)，首先化簡(jiǎn)變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用。
考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題
[內(nèi)容解讀]1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；2、通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5、了解函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效性；5、會(huì)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題，如生活中的最優(yōu)化問題等。
[命題規(guī)律]考查導(dǎo)數(shù)的概念、切線方程、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算等內(nèi)容，在高考中經(jīng)常以填空題或選擇題為主要題型，難度不大；考查單調(diào)性、極值、最值等問題及應(yīng)用問題，以中檔題為主，題型以解答題為主。
例6、(2008福建)如果函數(shù)
的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)
的圖像可能是( )
解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正→負(fù)→正→負(fù),只有答案A滿足.
點(diǎn)評(píng)：深刻理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。
例7、(2008廣東文)設(shè)
，若函數(shù)
，
有大于零的極值點(diǎn)，則(A )
A．
B. 
C. 
D. 
解：依題意，有
有大于0的實(shí)根,數(shù)形結(jié)合令
,則兩曲線交點(diǎn)在第一象限,結(jié)合圖像易得
,選A.
點(diǎn)評(píng)：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。
例8、(2008湖北理)若f(x)=
上是減函數(shù)，則b的取值范圍是( )
A.[-1，+∞] B.(-1，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，-1)
解：由題意可知
，在
上恒成立，
即
在上恒成立，由于
，所以
，故C為正確答案．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)，反之也成立。如果在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)。
例9、(2008全國(guó)Ⅰ卷文) 曲線
在點(diǎn)
處的切線的傾斜角為( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
解：
，在點(diǎn)(1,3)處切線的斜率為：k＝3×12－2＝1，所以傾斜角為45° ，選(B)。
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在某點(diǎn)處的切線的斜率問題。
例10、(2008安徽文)設(shè)函數(shù)
為實(shí)數(shù)。
(Ⅰ)已知函數(shù)在
處取得極值，求
的值；
(Ⅱ)已知不等式
對(duì)任意
都成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
解: (1) 
，由于函數(shù)在時(shí)取得極值，所以 
即 
(2) 方法一：由題設(shè)知：
對(duì)任意都成立
即
對(duì)任意都成立
設(shè) 
, 則對(duì)任意
，
為單調(diào)遞增函數(shù)
所以對(duì)任意，
恒成立的充分必要條件是
即 
，
于是的取值范圍是
方法二：由題設(shè)知：對(duì)任意都成立
即對(duì)任意都成立
于是
對(duì)任意都成立，即
于是的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，則在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，反過來，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的值為0，則在函數(shù)這點(diǎn)處取得極值。
例11、(2008廣東文)某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x
10)層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位：元)。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？
(注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=
)
解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為
元，依題意得
則
，令
，即
，解得
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
，
因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，
元.
答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。
點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，求最值問題，經(jīng)常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在極值處取得最值。
例12、(2008湖北理)水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為
V(t)=
(Ⅰ)該水庫的蓄求量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份(i=1,2,…,12),同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？
(Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e=2.7計(jì)算).
解：(Ⅰ)①當(dāng)0＜t
10時(shí)，V(t)=(-t2+14t-40)
化簡(jiǎn)得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②當(dāng)10＜t12時(shí)，V(t)＝4(t-10)(3t-41)+50＜50,
化簡(jiǎn)得(t-10)(3t-41)＜0,
解得10＜t＜
，又10＜t12,故 10＜t12.
綜合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在(4，10)內(nèi)達(dá)到.
由V′(t)=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
當(dāng)t變化時(shí)，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：
|
t |
(4,8) |
8 |
(8,10) |
|
V′(t) |
+ |
0 |
- |
|
V(t) |
 |
極大值 |
 |
由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(億立方米).
故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力.
考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)
[內(nèi)容解讀]本章重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運(yùn)算.難點(diǎn)是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算.
[命題規(guī)律]復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算是高考命題熱點(diǎn)，從近幾年高考試題來看，主要考查復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算，難度不大。
例11、(2008福建理) 若復(fù)數(shù)
是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
解：由
得
,且
。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，注意純虛數(shù)一定要使虛部不為0。
例12、(2008江西理) 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：因
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，選(D)。
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的知識(shí)，每一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。
例13、(2008湖南理)復(fù)數(shù)
等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
解：由
,易知D正確.
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，掌握
＝－1。
例14、(2008上海文)若
是實(shí)系數(shù)方程
的一個(gè)虛根，且
，則
．
解：設(shè)
,則方程的另一個(gè)根為
,且
，
由韋達(dá)定理，得：
所以
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根的意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)。
例15、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+
|+|z－| = 2，求|z++1|的最小值．
解：由題設(shè)知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線段AB，如圖所示，線段AB上B點(diǎn)到C點(diǎn)距離最短．
∵|BC |=1，∴|z++1|的最小值為1．
點(diǎn)評(píng)：在分析問題和解決問題時(shí)，要注意解析語言的意義及運(yùn)用，要掌握?qǐng)D形語言、符號(hào)語言及文字語言的互化，自覺地由“形”到“數(shù)”與由“形”變“數(shù)”地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法．
(三)復(fù)數(shù)
1．復(fù)數(shù)及分類
形如a+bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a為實(shí)部，b為虛部，ii是虛數(shù)單位，且滿足ii2＝－1.
復(fù)數(shù)z＝a+bi(a，b∈R)
2．復(fù)數(shù)相等的充要條件
a+bii＝c+diiÛa＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).
特別地a+bii＝0Ûa＝b＝0(a，b∈R).
3．i的冪
i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈Z).
4．復(fù)數(shù)的加法和減法
(a+bi)±(c+di)＝(a±c)+(b±d)i(a，b，c，d∈R).
5．復(fù)數(shù)的乘法和除法
⑴復(fù)數(shù)的乘法按多項(xiàng)式相乘進(jìn)行，即
(a+bi)(c+di)＝ac+adi+bci+bdi2＝(ac－bd)+(ad+bc)i.
⑵復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化.
6．共軛復(fù)數(shù)
z＝a+bi與＝a－bi互為共軛復(fù)數(shù)。
7．復(fù)數(shù)的模
設(shè)z＝a+bi，則復(fù)數(shù)的模：｜z｜＝r＝
8．復(fù)數(shù)與點(diǎn)的軌跡
復(fù)數(shù)
與復(fù)平面上的點(diǎn)
是一一對(duì)應(yīng)的。
⑴兩點(diǎn)間的距離公式：d＝｜z1－z2｜；
⑵圓的方程：｜z－P｜＝r(以點(diǎn)P為圓心，r為半徑)；
(二)導(dǎo)數(shù)
1.有關(guān)概念
①平均變化率：
②函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：
③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
＝
＝
2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
是曲線
上點(diǎn)(
)處的切線的斜率
說明：⑴.導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以簡(jiǎn)記為“k=
”,強(qiáng)化這一句話“斜率導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)斜率”
⑵.曲線在點(diǎn)()處的切線方程為
3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：
s=s(t)是物體運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)，物體在t=
時(shí)刻的瞬時(shí)速度是
說明：⑴.物理意義在教材上只是以引例形式出現(xiàn)，教學(xué)大綱對(duì)它的要求不高，知道即可。
⑵.物理意義可以簡(jiǎn)記為
=
4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
5、求導(dǎo)法則
，
，
(v≠0)
6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
＝
(一)極限
1、數(shù)學(xué)歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的重要方法，它是完全歸納法中的一種。論證問題分為兩步：
證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確；
假設(shè)當(dāng)n=k(k∈
且k≥)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。
由(1)、(2)斷定命題對(duì)于從開始的一切正整數(shù)都成立。
2、數(shù)列極限的定義
設(shè)是一個(gè)無窮數(shù)列，A是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n＞N，就有|-A|＜ε，那么就說數(shù)列以A為極限(或A是數(shù)列的極限)，記作
=A。
3、數(shù)列極限的運(yùn)算法則
如果=A，
=B，那么
(1) (±)=±=A±B；
(2) (·)=·=A·B
(3)
(4)(c·)= c·=cA(c為常數(shù))
極限運(yùn)算法則中的各個(gè)極限都應(yīng)存在，都可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，不能推廣到無限個(gè)。在商的運(yùn)算法則中，要注意對(duì)式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限。
4、特殊數(shù)列的極限
(1)C=C(C為常數(shù))
(2)
0(|a|＜1)
= 1(a=l 
不存在(|a|＞1或a=-1)
(3) 
=0(α＞0的常數(shù))
(4)
(當(dāng)k=
時(shí))
= 0(當(dāng)k＜時(shí)
不存在(當(dāng)k＞時(shí))
說明：欲求極限的式子中，含有項(xiàng)數(shù)與n有關(guān)的“和式”或“積式”，應(yīng)先求和或積。
5、常見的數(shù)列極限的類型和求法
(1)“
”型，分子、分母分別求和再轉(zhuǎn)化。
(2)“
”型，分子、分母先求和，再化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為有極限。
(3)“
”型，將其看作分母為1的分式，轉(zhuǎn)化求極限。
6、
與
和
之間的關(guān)系
=a ==a。
如果在點(diǎn)
處左、右極限都存在并且等值，則在點(diǎn)處的極限也存在，并且與左、右極限值相同；如果 在處的左、右極限至少有一個(gè)不存在，或者左、右極限都存在但不等值，則函數(shù)在點(diǎn)處沒有極限，這種關(guān)系也反映出
、
、
、
也都在處連續(xù)。
9．以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與幾何等的綜合應(yīng)用．
以上關(guān)于數(shù)列二輪復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)建議僅供復(fù)習(xí)時(shí)參考，各校應(yīng)根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行增減，四星以下的學(xué)校應(yīng)重在基礎(chǔ)，對(duì)于數(shù)列的綜合問題可略講，甚至不講．
8．掌握一些數(shù)列求和的方法
(1)分解成特殊數(shù)列的和
(2)裂項(xiàng)求和
(3)“錯(cuò)位相減”法求和
7．根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列；
6．掌握數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn 之間的關(guān)系；
5．根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納；
4．注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式；
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