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4．歐拉示性數(shù)：

在歐拉公式中令，叫歐拉示性數(shù)

說明：(1)簡單多面體的歐拉示性數(shù)．

(2)帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)．例如：長方體挖去一個洞連結(jié)底面相應(yīng)頂點得到的多面體．

4．歐拉定理(歐拉公式)：簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式：

．

證明:(方法一)

⑴如圖⑽：將多面體的底面ABCDE剪掉，抻成平面圖形，其頂點、棱數(shù)，面數(shù)(剪掉面用右圖中ABCDE表示)均沒有變，故所有面的內(nèi)角總和不變。

⑵設(shè)左圖中共有F個面，分別是邊形，頂點數(shù)為V，棱數(shù)為E,則.

左圖中，所有面的內(nèi)角總和為

＝

＝

⑶右圖中，所有面的內(nèi)角總和為

　　　 ＝

　⑷ ＝

整理得.

(方法二)以四面體為例來說明：

將它的一個面去掉，并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點數(shù)、棱數(shù)與剩下的面數(shù)變形后都沒有變　 因此，要研究、和的關(guān)系，只要去掉一個面，將它變形為平面圖形即可

　 　對平面圖形，我們來研究：

(1)去掉一條棱，就減少一個面例如去掉，就減少一個面．

同理，去掉棱、，也就各減少一個面、．

所以、的值都不變，因此的值也不變

(2)再從剩下的樹枝形中，去掉一條棱，就減少一個頂點例如去掉，就減少一個頂點．同理，去掉就減少一個頂點，最后剩下

(如圖)．

在此過程中的值不變，但這時面數(shù)是，

所以的值也不變

由于最后只剩下，所以，

最后加上去掉的一個面，就得到．

3.　假如圖⑸→圖⑻的多面體表面是像皮膜，向內(nèi)充氣則⑸⑹將變成一個球面，圖⑺將變成兩個緊貼的球面，圖⑻將變成一個環(huán)面。

可以驗證：只有像⑸⑹這樣，經(jīng)過連續(xù)變形，表面能變?yōu)橐粋�球面的多面體才滿足公式V+F－E＝2。這個公式稱為歐拉公式，這樣的多面體稱為簡單多面體。

2．查出圖⑺中的頂點數(shù)V、面數(shù)F、和棱數(shù)E，并驗證上面公式是否還成立？

1．請查出圖⑹的頂點數(shù)V、面數(shù)F、和棱數(shù)E，并計算V+F－E＝6+6-10=2

3.歐拉公式的探究

2．五種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：

正多面體	頂點數(shù)	面數(shù)	棱數(shù)
正四面體	4	4	6
正六面體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30
正二十面體	12	20	30

發(fā)現(xiàn)：它們的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有共同的關(guān)系式：．

上述關(guān)系式對簡單多面體都成立

1．簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)(不破裂)變形，最后可變?yōu)橐粋�球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡單多面體

說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體

4．凸多面體的分類：多面體至少有四個面，按照它的面數(shù)分別叫四面體、五面體、六面體等

1 歐拉生平事跡簡說：歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家1707年4月15日出生于瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，自幼受父親的教育，13歲入讀巴塞爾大學(xué)15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位，1783年9月18日于俄國彼得堡去逝(詳細資料附后)

　2多面體的概念：由若干個多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個多邊形叫多面體的面，兩個面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點叫多面體的頂點，連結(jié)不在同一面上的兩個頂點的線段叫多面體的對角線．

3．凸多面體：把多面體的任一個面展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體．如圖的多面體則不是凸多面體．