22.
(09·四川·25) 如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O1點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s2。那么，
(1)彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
(2)請通過計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。
(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角)。
解析：
(1)設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：
①
代入數(shù)據(jù)，得：W＝
J �、�
(2)由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v1和V，并令水平向右為正方向，有: 
�、�
而： 
④
若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V<v1，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)。P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)。
有： 
�、�
P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過的時(shí)間為
，P經(jīng)過的時(shí)間為
。設(shè)此時(shí)N的速度V1的方向與水平方向的夾角為
，有：
⑥
⑦
代入數(shù)據(jù)，得： 
⑧
對小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：
⑨
經(jīng)計(jì)算得： ＜T，
P經(jīng)過時(shí)，對應(yīng)的圓心角為
，有：
⑩
當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有： 
聯(lián)立相關(guān)方程得： 
比較得， 
，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同。
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有： 
，
同上得： 
，
比較得， 
，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同。
(3)當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同， 
，
再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得： 
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，
同理得： 
，
考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有:
(給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值)
21.
(09·上海物理·23)(12分)如圖，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球A、B固定在彎成120°角的絕緣輕桿兩端，OA和OB的長度均為l，可繞過O點(diǎn)且與紙面垂直的水平軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣阻力不計(jì)。設(shè)A球帶正電，B球帶負(fù)電，電量均為q，處在豎直向下的勻強(qiáng)電場中。開始時(shí)，桿OB與豎直方向的夾角q0＝60°，由靜止釋放，擺動(dòng)到q＝90°的位置時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求：
(1)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E；
(2)系統(tǒng)由初位置運(yùn)動(dòng)到平衡位置，重力做的功Wg和靜電力做的功We；
(3)B球在擺動(dòng)到平衡位置時(shí)速度的大小v。
解析：(1)力矩平衡時(shí)：(mg－qE)lsin90°＝(mg+qE)lsin(120°－90°)，
即mg－qE＝(mg+qE)，得：E＝；
(2)重力做功：Wg＝mgl(cos30°－cos60°)－mglcos60°＝(－1)mgl，
靜電力做功：We＝qEl(cos30°－cos60°)+qElcos60°＝mgl，
(3)小球動(dòng)能改變量DEk=
mv2＝Wg+We＝(－1)mgl，
得小球的速度：v＝＝。
20.(09·上海物理·20)質(zhì)量為5´103 kg的汽車在t＝0時(shí)刻速度v0＝10m/s，隨后以P＝6´104 W的額定功率沿平直公路繼續(xù)前進(jìn)，經(jīng)72s達(dá)到最大速度，設(shè)汽車受恒定阻力，其大小為2.5´103N。求：(1)汽車的最大速度vm；(2)汽車在72s內(nèi)經(jīng)過的路程s。
解析：(1)當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)，P＝=Fv=fvm，vm＝＝m/s＝24m/s
(2)從開始到72s時(shí)刻依據(jù)動(dòng)能定理得：
Pt－fs＝mvm2－mv02，解得：s＝＝1252m。
19.(09·四川·23)圖示為修建高層建筑常用的塔式起重機(jī)。在起重機(jī)將質(zhì)量m=5×103 kg的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=0.2 m/s2，當(dāng)起重機(jī)輸出功率達(dá)到其允許的最大值時(shí)，保持該功率直到重物做vm=1.02 m/s的勻速運(yùn)動(dòng)。取g=10 m/s2,不計(jì)額外功。求：
(1) 起重機(jī)允許輸出的最大功率。
(2) 重物做勻加速運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間和起重機(jī)在第2秒末的輸出功率。
解析：
(1)設(shè)起重機(jī)允許輸出的最大功率為P0，重物達(dá)到最大速度時(shí)，拉力F0等于重力。
P0＝F0vm ①
P0＝mg ②
代入數(shù)據(jù)，有：P0＝5.1×104W ③
(2)勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，起重機(jī)達(dá)到允許輸出的最大功率，設(shè)此時(shí)重物受到的拉力為F，速度為v1，勻加速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間為t1,有：
P0＝F0v1 ④
F－mg＝ma ⑤
V1＝at1 ⑥
由③④⑤⑥，代入數(shù)據(jù)，得：t1＝5 s ⑦
T＝2 s時(shí)，重物處于勻加速運(yùn)動(dòng)階段，設(shè)此時(shí)速度為v2，輸出功率為P，則
v2＝at ⑧
P＝Fv2 ⑨
由⑤⑧⑨，代入數(shù)據(jù)，得:P＝2.04×104W。
18.(09·江蘇·14)1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時(shí)間可以忽略不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場與盒面垂直。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q ，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用。
(1)求粒子第2次和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t；
(3)實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場頻率的最大值分別為Bm、fm，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能E㎞。
解析：
(1)設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r1,速度為v1
qu=mv12
qv1B=m
解得 
同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑 
則 
(2)設(shè)粒子到出口處被加速了n圈
解得 
(3)加速電場的頻率應(yīng)等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即
當(dāng)磁場感應(yīng)強(qiáng)度為Bm時(shí)，加速電場的頻率應(yīng)為
粒子的動(dòng)能
當(dāng)
≤
時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由Bm決定
解得
當(dāng)≥時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由fm決定
解得 
17.(09·浙江·24)某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不記。圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作多長時(shí)間？(取g=10 )
答案：2.53s
解析：本題考查平拋、圓周運(yùn)動(dòng)和功能關(guān)系。
設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v1，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
解得
設(shè)賽車恰好越過圓軌道，對應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v2，最低點(diǎn)的速度為v3，由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律
解得
m/s
通過分析比較，賽車要完成比賽，在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是
m/s
設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間至少為t，根據(jù)功能原理
由此可得 t=2.53s
16.(09·福建·21)如圖甲，在水平地面上固定一傾角為θ的光滑絕緣斜面，斜面處于電場強(qiáng)度大小為E、方向沿斜面向下的勻強(qiáng)電場中。一勁度系數(shù)為k的絕緣輕質(zhì)彈簧的一端固定在斜面底端，整根彈簧處于自然狀態(tài)。一質(zhì)量為m、帶電量為q(q>0)的滑塊從距離彈簧上端為s0處靜止釋放，滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中電量保持不變，設(shè)滑塊與彈簧接觸過程沒有機(jī)械能損失，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g。
(1)求滑塊從靜止釋放到與彈簧上端接觸瞬間所經(jīng)歷的時(shí)間t1
(2)若滑塊在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中最大速度大小為vm，求滑塊從靜止釋放到速度大小為vm過程中彈簧的彈力所做的功W；
(3)從滑塊靜止釋放瞬間開始計(jì)時(shí)，請?jiān)谝覉D中畫出滑塊在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中速度與時(shí)間關(guān)系v-t圖象。圖中橫坐標(biāo)軸上的t1、t2及t3分別表示滑塊第一次與彈簧上端接觸、第一次速度達(dá)到最大值及第一次速度減為零的時(shí)刻，縱坐標(biāo)軸上的v1為滑塊在t1時(shí)刻的速度大小，vm是題中所指的物理量。(本小題不要求寫出計(jì)算過程)
答案：(1)
; (2)
;
(3)
解析：本題考查的是電場中斜面上的彈簧類問題。涉及到勻變速直線運(yùn)動(dòng)、運(yùn)用動(dòng)能定理處理變力功問題、最大速度問題和運(yùn)動(dòng)過程分析。
(1)滑塊從靜止釋放到與彈簧剛接觸的過程中作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度大小為a，則有
qE+mgsin=ma
①
�、�
聯(lián)立①②可得
�、�
(2)滑塊速度最大時(shí)受力平衡，設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為
，則有
�、�
從靜止釋放到速度達(dá)到最大的過程中，由動(dòng)能定理得
⑤
聯(lián)立④⑤可得
s
(3)如圖
15.(09·安徽·24)過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑
、
。一個(gè)質(zhì)量為
kg的小球(視為質(zhì)點(diǎn))，從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以
的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距
m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)
，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取
，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求
(1)小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大小；
(2)如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距
應(yīng)是多少；
(3)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑
應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)
的距離。
答案：(1)10.0N；(2)12.5m(3) 當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
解析：(1)設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1根據(jù)動(dòng)能定理
�、�
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律
�、�
由①②得
�、�
(2)設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意
�、�
⑤
由④⑤得
�、�
(3)要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足
�、�
⑧
由⑥⑦⑧得
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理
解得
為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足
解得 R3=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件
或
當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則
當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則
14.
(09·安徽·23)如圖所示，勻強(qiáng)電場方向沿
軸的正方向，場強(qiáng)為
。在
點(diǎn)有一個(gè)靜止的中性微粒，由于內(nèi)部作用，某一時(shí)刻突然分裂成兩個(gè)質(zhì)量均為
的帶電微粒，其中電荷量為
的微粒1沿
軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間到達(dá)
點(diǎn)。不計(jì)重力和分裂后兩微粒間的作用。試求
(1)分裂時(shí)兩個(gè)微粒各自的速度；
(2)當(dāng)微粒1到達(dá)(
點(diǎn)時(shí)，電場力對微粒1做功的瞬間功率；
(3)當(dāng)微粒1到達(dá)(點(diǎn)時(shí)，兩微粒間的距離。
答案：(1)
，
方向沿y正方向(2)
(3)2
解析：(1)微粒1在y方向不受力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在x方向由于受恒定的電場力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。所以微粒1做的是類平拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)微粒1分裂時(shí)的速度為v1，微粒2的速度為v2則有：
在y方向上有
-
在x方向上有
-
根號外的負(fù)號表示沿y軸的負(fù)方向。
中性微粒分裂成兩微粒時(shí)，遵守動(dòng)量守恒定律，有
方向沿y正方向。
(2)設(shè)微粒1到達(dá)(0，-d)點(diǎn)時(shí)的速度為v，則電場力做功的瞬時(shí)功率為
其中由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
所以
(3)兩微粒的運(yùn)動(dòng)具有對稱性，如圖所示，當(dāng)微粒1到達(dá)(0，-d)點(diǎn)時(shí)發(fā)生的位移
則當(dāng)微粒1到達(dá)(0，-d)點(diǎn)時(shí)，兩微粒間的距離為
13.(09·山東·38)(2)如圖所示，光滑水平面軌道上有三個(gè)木塊，A、B、C，質(zhì)量分別為mB=mc=2m,mA=m，A、B用細(xì)繩連接，中間有一壓縮的彈簧 (彈簧與滑塊不栓接)。開始時(shí)A、B以共同速度v0運(yùn)動(dòng)，C靜止。某時(shí)刻細(xì)繩突然斷開，A、B被彈開，然后B又與C發(fā)生碰撞并粘在一起，最終三滑塊速度恰好相同。求B與C碰撞前B的速度。
解析：(2)設(shè)共同速度為v，球A和B分開后，B的速度為
,由動(dòng)量守恒定律有
,
,聯(lián)立這兩式得B和C碰撞前B的速度為
。
考點(diǎn)：動(dòng)量守恒定律
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