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1．一個(gè)直立在水平面上圓柱體的主視圖、俯視圖、左視圖分為(　)

A．長(zhǎng)方形、圓、矩形　　　　　　 B．矩形、長(zhǎng)方形、圓

C．圓、長(zhǎng)方形、矩形　　　　　　 D．長(zhǎng)方形、矩形、圓

[例1]如圖，該物體的俯視圖是(　).

錯(cuò)解：B.

錯(cuò)因：投影方向不對(duì).

正解：C.

[例2] 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA₁,D₁C₁的中點(diǎn)，G是正方形BDB₁D₁的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是( )

A　　　　　　　　 B　　　　　　　 C　　　　　　　 D

錯(cuò)解：C.

正解：D

　[例3]水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正△A₁B₁C₁，則△ABC是(　 )

A. 銳角三角形　B. 直角三角形　　C. 鈍角三角形　 　D. 任意三角形

錯(cuò)解：B.

錯(cuò)因：不熟悉斜二側(cè)畫法的規(guī)則.

正解:C.

[例4] 正方體的全面積是a²，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是(　 ).

A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　　　 D.

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：對(duì)正方體和球的關(guān)系理解不清.

正解:B.正方體的對(duì)角線就是球的直徑.

[例5]如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S₁，S₂，則必有(　 )

A.S₁<S₂B.S₁>S₂C.S₁=S₂D.S₁，S₂的大小關(guān)系不能確定

解：連OA、OB、OC、OD

則V_A－BEFD＝V_O－ABD+V_O－ABE+V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC+V_O－AEC+V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S_ABD+S_ABE+S_BEFD＝S_ADC+S_AEC+S_EFC又面AEF公共，故選C

[例6]正三棱臺(tái)A₁B₁C_1-ABC的側(cè)面與底面成45°角，求側(cè)棱與底面所成角的正切值.

解：解法一　如圖，設(shè)O₁，O為上下底面正三角形的中心，連接O₁O，A₁O₁交A₁B₁于D₁，AO交AB于D.連接D₁D.易證A₁O₁⊥B₁C₁，AD⊥BC，D₁D⊥BC，過(guò)A₁，D₁分別作A₁E⊥底面ABC，D₁F⊥底面ABC，易證E、F在AD上.

因?yàn)檎�三棱臺(tái)A₁B₁C_1-ABC的側(cè)面與底面成45°的二面角，所以∠D₁DA=45°.因此A₁E=O₁O=D₁F=FD.設(shè)該正三棱臺(tái)上下底面的邊長(zhǎng)為a,b,則AD=b,A₁D₁=a.

所以　 A₁E=O₁O=D₁F=FD=b-= (b-a).

AE=(b-a).

所以　 tan∠A₁AE=.

解法二　如圖，延長(zhǎng)AA₁，BB₁，CC₁，則AA₁，BB₁，CC₁相交于一點(diǎn)S.顯然點(diǎn)S在DD₁的延長(zhǎng)線上.由解法一得知，∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.

所以　 在RtΔSOD中，SO=OD，

因?yàn)椤?AO=2·OD，所以　 tan∠SAO=.

點(diǎn)評(píng):由此例可以看出，在解決棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí)，“還臺(tái)為錐”利用棱錐的性質(zhì)來(lái)解決棱臺(tái)問(wèn)題是一種快捷方便的方法.

[例7] 粉碎機(jī)的下料斗是正四棱臺(tái)形，如圖所示，它的兩底面邊長(zhǎng)分別是80 mm和440 mm，高是200 mm，計(jì)算：

(1)這個(gè)下料斗的體積；

(2)制造這樣一個(gè)下料斗所需鐵板的面積(保留兩個(gè)有效數(shù)字)？

分析：要求下料斗所需鐵板的面積，就是求正四棱臺(tái)的側(cè)面積.正四棱臺(tái)的側(cè)面積公式是S_側(cè)＝(c+c＇)h＇.

解：(1)因?yàn)镾_上＝440²mm²，S_下＝80² mm²，h＝200 mm

(2)下底面周長(zhǎng)c＇＝4×80＝320mm，

　　　 下底面周長(zhǎng)c＝4×440＝1760mm，

　　　 斜高h(yuǎn)＇＝

　　　 S_{正棱臺(tái)側(cè)}＝(c+c＇)h＇＝(1760+320)×269≈2.8×10⁵(mm²)

答：這個(gè)下料斗的體積約為1.6×10⁷mm³，制造這樣一個(gè)下料斗需鐵板約2.8×10⁵mm².

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，須分清是求幾何體的表面積，還是求側(cè)面積，還是求側(cè)面積與一個(gè)底面面積的和，還是求體積.

2．主視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對(duì)應(yīng)物體的上、下、后、前.

1．三視圖間基本投影關(guān)系的三條規(guī)律：主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”；看不見(jiàn)的畫虛線.

3.　　 注意投影和射影的關(guān)系，以及在解題中的作用.

2.　　 了解三視圖的有關(guān)概念(視圖是指將物體按正投影向投影面投　射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結(jié)構(gòu)，稱之為三視圖);了解三視圖畫法規(guī)則，能作出物體的三視圖.

1.　　 了解投影(投影線通過(guò)物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法)、中心投影(投射線交于一點(diǎn)的投影稱為中心投影)、平行投影(投影線互相平行的投影稱為平行投影)、斜投影(平行投影投射方向不是正對(duì)著投影面的投影)、正投影(平行投影投射方向正對(duì)著投影面的投影)的概念.

7.如圖，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A₁A與AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

(1)求點(diǎn)A到平面B₁BCC₁的距離；

(2)當(dāng)AA₁多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)A₁到平面ABC與平面B₁BCC₁的距離相等.

§6.5空間幾何體及投影

6.如圖：二面角α--β為銳角，P為二面角內(nèi)一點(diǎn)，P到α的 距離為，到面β的距離為4，到棱的距離為，求二面角α- -β的大小.

5.ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)．求點(diǎn)B到面EFG的距離．