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19．(本小題滿分12分)已知點(x，y)在曲線C上，將此點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，對應的橫坐標不變，得到的點滿足方程x²+y²＝8；定點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0)，直線l與曲線C交于A，B兩個不同點．

(1)求曲線C的方程；

(2)求m的取值范圍．

解：(1)在曲線C上任取一個動點P(x，y)，　

則點(x,2y)在圓x²+y²＝8上．

所以有x²+(2y)²＝8.

整理得曲線C的方程為+＝1.

(2)∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，

又k_OM＝，

∴直線l的方程為y＝x+m.

由得x²+2mx+2m²－4＝0

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

∴Δ＝(2m)²－4(2m²－4)>0，

解得－2<m<2且m≠0.

∴m的取值范圍是－2<m<0或0<m<2.

18．(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x－y＝4相切．

(1)求圓O的方程；

(2)圓O與x軸相交點A、B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍．

解：(1)依題設，圓O的半徑r等于原點O到直線x－y＝4的距離，即r＝＝2.

得圓O的方程為x²+y²＝4.

(2)不妨設A(x_1,0)，B(x_2,0)，x₁＜x₂.

由x²＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．

設P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，得

·＝x²+y²，

即x²－y²＝2.

·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x²－4+y²

＝2(y²－1)．

由于點P在圓O內(nèi)，故由此得y²＜1.

所以·的取值范圍為[－2,0)．

17．(本小題滿分12分)已知A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)分別在直線x+y－7＝0及x+y－5＝0上，求AB中點M到原點距離的最小值．

解：設AB中點為(x₀，y₀)，

∴

又∵

∴(x₁+x₂)+(y₁+y₂)＝12，

∴2x₀+2y₀＝12，

∴x₀+y₀＝6.

∴原點到x₀+y₀＝6距離為所求，即d＝＝3.

16．(2009·湖南高考)過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點作圓x²+y²＝a²的兩條切線，切點分別為A，B.若∠AOB＝120°(O是坐標原點)，則雙曲線C的離心率為________．

解析：∵∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°.

在Rt△OAF中，|OA|＝a，|OF|＝c，

∴e＝＝＝＝2.

答案：2

15．(2009·全國卷Ⅱ)已知圓O：x²+y²＝5和點A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于________．

解析：依題意過A(1,2)作圓x²+y²＝5的切線方程為x+2y＝5，在x軸上的截距為5，在y軸上的截距為，切線與坐標軸圍成的面積S＝··5＝.

答案：

14．設a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線x·sinA+ay+c＝0與bx－y·sinB+sinC＝0的位置關系是________．

解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，

∴asinB－bsinA＝0，

∴兩直線垂直．

答案：垂直

13．(2009·杭州模擬)直線x+2y－2＝0經(jīng)過橢圓+＝1(a>b>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于________．

解析：直線過點(2,0)和(0,1)，即為橢圓的一個焦點和一個頂點，又a>b>0，∴焦點在x軸上，

∴c＝2，b＝1，a＝＝，∴e＝.

答案：

12．(2010·諸城模擬)過拋物線y²＝2px(p>0)的焦點F的

直線l交拋物線于點A、B(如圖所示)，交其準線于點C，

若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為 (　)

A．y²＝9x　　　　 　B．y²＝6x

C．y²＝3x　　　　　 D．y²＝x

解析：點F到拋物線準線的距離為p，又由|BC|＝2|BF|得點

B到準線的距離為|BF|，則＝，∴l與準線夾角為30°，

則直線l的傾斜角為60°.由|AF|＝3，如圖連結AH⊥HC，

EF⊥AH，則AE＝3－p，

則cos60°＝，故p＝.

∴拋物線方程為y²＝3x.

答案：C

11．若直線ax+by+1＝0(a、b>0)過圓x²+y²+8x+2y+1＝0的圓心，則+的最小值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．8　 　　　　　　B．12 　　　　　　　　C．16 　　　　　　　D．20

解析：由題意知，圓心坐標為(－4，－1)，由于直線過圓心，所以4a+b＝1，從而+＝(+)(4a+b)＝8++≥8+2×4＝16(當且僅當b＝4a時取“＝”)．

答案：C

10．拋物線y²＝2px(p>0)的準線經(jīng)過等軸雙曲線x²－y²＝1的左焦點，則p＝(　)

A. 　　　　　　　B.　　　　　　　 C．2 　　　　　　　D．4

解析：雙曲線x²－y²＝1的左焦點為(－，0)，故拋物線的準線為x＝－，∴＝，p＝2.

答案：C