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2、直線的斜率：(1)定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示，即k＝tan(≠90°).(2)傾斜角為90°的直線沒有斜率。(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(x, x),P (y,y)的直線的斜率公式為

1、直線的傾斜角：(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線l重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0。(2)直線的傾斜角的范圍。(3)在直線的傾斜角的定義中抓住三個(gè)重要條件：“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、與直線l重合、最小正角”。

12、二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，

每個(gè)半平面叫做二面角的面，棱為l，兩個(gè)面分別為，的二面角記為-l-,

一個(gè)平面垂直于二面角-l-的棱，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線OA，OB，O為垂足，則∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。

一個(gè)二面角的大小可用它的平面角的大小來(lái)衡量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是［0，180°］

計(jì)算二面角的方法：(1)定義法(常根據(jù)三垂線定理先作平面角即自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂足向棱作垂線，，再解直角三角形)。(2)射影面積法，(3)有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐標(biāo)法)：

利用法向量可處理二面角問(wèn)題

設(shè) 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量

的夾角為，則有(圖3)或 (圖4)

圖3　　　　　　　　　　　　　　　　 圖4

第九講 直線與方程

11、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角。設(shè)AB是平面a的一條斜線，A為斜足，直線m是平面a內(nèi)任一直線，AB′是AB在平面a內(nèi)的射影。為AB和m所成的角，為AB和射影所成的角，射影AB′和m所成的角，則cos=coscos

　 重要應(yīng)用：空間兩條異面直線L1與L2所成的角為≠，過(guò)空間一定點(diǎn)P作直線L與L1，L2所成的角都是，這樣的直線L可作多少條？

分析：(1)若∈(0，/2)，則這樣的直線L有0條

(2)若＝/2，則這樣的直線有1條

(3)若∈(/2，)，則這樣的直線L有2條

(4)若＝，則這樣的直線L有3條

(5)若∈(，)，則這樣的直線L有4條

(6)若＝，則這樣的直線L有1條

10、直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。特別當(dāng)一條直線和平面垂直時(shí)，就說(shuō)直線與平面所成的角是直角，當(dāng)一條直線在平面內(nèi)或和這個(gè)平面平行時(shí)，我們規(guī)定直線和平面所成的角為0°，所以直線和平面所成的角的范圍是

利用法向量可處理線面角問(wèn)題

設(shè) 為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有(圖1)或(圖2)

圖1　 　　　　　　　 圖2

9、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直�！∪�垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

8、(1)平面與平面的位置關(guān)系：1)平行＿＿沒有公共點(diǎn)，2)相交＿＿有且只有一條公共直線。兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在同一條直線上。

(2)兩個(gè)平面平行的判定：1)一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡(jiǎn)稱為“線面平行，則面面平行”，2)推論：如果平面內(nèi)一個(gè)有兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，那么這兩個(gè)平面平行。3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：1)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

2)兩個(gè)平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段也相等。

3)如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面。

(3) 兩個(gè)平面垂直的判定：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：1)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。2)如果兩個(gè)平面垂直，那么從一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線必在第一個(gè)平面內(nèi)。

7、(1)直線與平面的位置關(guān)系：1)直線在平面內(nèi),　2)直線與平面相交，　3)直線與平面平行,　其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。

(2)直線與平面平行的判定：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。簡(jiǎn)稱為“線線平行，則線面平行�！�

判定直線與平面平行的方法還有：1)2)

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，交線和這條直線平行，簡(jiǎn)稱為“線面平行，則線線平行”。

(3) 直線與平面垂直的概念：如果一條直線和平平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。公理：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直。

直線和平面垂直的判定：1)一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。2)兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：(1)如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。(2)如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

6、異面直線的距離：(1)和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線

的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無(wú)數(shù)條。(2)求異面直線的距離的常用方法有：1)直接找公垂線段而求之。2)轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過(guò)其中一條直線作平面和平行另一條直線。3)利用向量法：常利用端點(diǎn)在兩條異面直線上的有向線段在公垂線的方向向量上的投影。如圖：AB為公垂線段，

異面直線上兩點(diǎn)的距離公式：已知兩條異面直線a,b所成的角為，在a,b上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，已知AB為公垂線段，長(zhǎng)度為d,BE＝m,AF=n,EF=l則l＝(同側(cè)為減，異側(cè)為加)

5、空間直線的位置關(guān)系：(1)相交直線：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。(2)平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。(3)異面直線：不在任何一個(gè)平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。兩條異面直線的作圖，常借助于輔助平面。

異面直線的判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。

異面直線所成的角(或夾角)的定義與求法：直線a,b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)O，分別引直線aˊ／／a , b＇／／b,相交直線a＇，b＇所成的銳角(直角)叫異面直線a,b所成的角∈，求異面直線的夾角常用平移法和向量法。