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1.掌握反證法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法的一些策略技巧；

10． (2006浙江)已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過(0，0)和(x,f (x))兩點的直線平行(如圖)．

求證：當(dāng)n時，

　(Ⅰ)x

(Ⅱ)

證明：(I)因為

所以曲線在處的切線斜率

因為過和兩點的直線斜率是

所以．

(II)因為函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增，

而，

所以，即

因此

又因為令則

因為所以

因此故

[探索題] 已知函數(shù)f(x)=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是　 對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：當(dāng)時，　

證法一：由，得

∴

下面證明對任意兩個不相等的正數(shù),有恒成立

即證成立

∵

設(shè)，則

令得，列表如下：

		極小值

　　　 ∴

∴對任意兩個不相等的正數(shù)，恒有

證法二：由，得

∴

∵是兩個不相等的正數(shù)

∴

設(shè)，

則，列表：

		極小值

∴　 即

∴

即對任意兩個不相等的正數(shù)，恒有

9．(2006重慶)已知函數(shù)f(x)=(x²+bx+c)e^x，其中b,c∈R為常數(shù)。

(Ⅰ)若b²>4(c-1)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若，且，試證：。

解(I)求導(dǎo)得f^/(x)=[x²+(b+2)x+b+e]e^x

∵b²>4(c-1)故方程f^/(x)=0 即 x²+(b+2)x+b+e=0有兩個實根

令f^/(x)>0,解得x<x₁,或x>x₂．

又令f^/(x)<0,解得x₁<x<x₂．

故當(dāng)x∈(－∞,x₁)時，f(x)是增函數(shù)，x∈(x₂,+∞)時，f(x)也是函數(shù)，當(dāng)x∈(x₁,x₂)時，f(x)是減函數(shù)。

　(II)易知

∴

∴由已知條件得

解得

8．(2006江西)已知函數(shù)在與時都取得極值．

(1)求、的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對x∈[-1,2],不等式f(x)<c²恒成立,求c的取值范圍．

解:

f^/(x)=3x²－x－2=(3x－2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表：

f/(x)
f(x)		極大值		極小值

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為與;

遞減區(qū)間為．

7．　 已知x∈R,求證：e^x≥x+1．

證明:設(shè)f(x)=e^x－x－1,則f′(x)=e^x－1．

∴當(dāng)x=0時，f′(x)=0,f(x)=0．

當(dāng)x＞0時，f′(x)＞0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)．∴f(x)＞f(0)=0．

當(dāng)x＜0時，f′(x)＜0,f(x)在(－∞,0)上是減函數(shù)，∴f(x)＞f(0)=0．

∴對x∈R都有f(x)≥0．∴e^x≥x+1．

5． ;　　 6．設(shè)底面邊長為x，則高為h=，

∴S_表=3×x+2×x²=+x²

∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案：

[解答題]

4．，

3．由f(－x)=f(x)，求導(dǎo)得．

2．(x)=4x(x²－3x+5)在［1，2］上，(x)>0，

∴f(x)在［1，2］上單調(diào)遞增．∴f(x)≥f(1)=7．

∴f(x)=0在［1，2］上無根．答案：D

5．曲線y=上的點到直線2x－y+3=0的最短距離為　　　

6設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為________

簡答．提示：1－4．DDBC;