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3.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)：

2.求期望與方差.首先應(yīng)先求出分布列，再代公式求期望與方差.

1.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的意義.

[例1] (1)一枚骰子的六個(gè)面上標(biāo)有1、2、3、4、5、6，投擲一次，向上面的點(diǎn)數(shù)為ξ,求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。

(2) 若隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)= 　(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。

(3)一次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，每個(gè)選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選均不得分，滿分150分，某學(xué)生選對(duì)每一道題的概率為0.7，求該生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差。

解：(1)Eξ=x₁P₁+x₂P₂+x₃P₃+…+x₆P₆=1×+2×+3×+…+6×=3.5

E(2ξ+3)=2Eξ+3=10

Dξ=(x₁-Eξ)²P₁+(x₂-Eξ)²P₂+…+(x₆-Eξ)²P₆

=[(1-3.5)²+(2-3.5)²+…(6-3.5)²]=17.5×=2.92

(2) Eξ=(1+2+…+n)=

Dξ=Eξ²-(Eξ)²=(n²-1)

(3)設(shè)ξ為該生選對(duì)試題個(gè)數(shù)，η為成績(jī)。則ξ-B(50，0.7)，η=3ξ

∴Eξ=50×0.7=35；Dξ=50×0.7×0.3=10.5

故Eη=E(3ξ)=3Eξ=105

Dη=D(3ξ)=9Dξ=94.5

[例2](2006年安徽)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用ξ表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，

(Ⅰ)寫(xiě)出ξ的分布列；(以列表的形式給出結(jié)論，不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程).

(Ⅱ)求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.(要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或說(shuō)明道理).

解：(I)ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

(II)由ξ的定義得

.

[例3](2006山東)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：

(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率。

解：(I)解法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，

則

解法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件，因?yàn)?sub>, 所以.

(II)由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5.

所以隨機(jī)變量的概率分布為

	2	3	4	5

因此的數(shù)學(xué)期望為

(Ⅲ)“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為，則

[例4](2006全國(guó)Ⅱ)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件。一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。

(Ⅰ)用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品給用戶拒絕購(gòu)買(mǎi)的概率。

解：(I)ξ可能的取值為0，1，2，3.

，

，

，

.

ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3

數(shù)學(xué)期望為Eξ=1.2.

(II)所求的概率為

[研討.欣賞](2006遼寧)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ,對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元, ξ取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量ξ₁、ξ₂分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).

(I)求ξ₁、ξ₂的概率分布和數(shù)學(xué)期望Eξ₁、Eξ₂;

(II)當(dāng)Eξ₁<Eξ₂時(shí),求的取值范圍.

解(I)法一：ξ₁的概率分布為

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

由題設(shè)的ξ－B(2,p)，即ξ的概率分布為

ξ	0	1	2
P

故ξ₂的概率分布為

ξ2	1.3	1.25	0.2
P

所以ξ₂的數(shù)學(xué)期望為

解法二：ξ₁的概率分布為

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

設(shè)表示事件“第 i 次調(diào)整，價(jià)格下降”(i=1,2)，則

故ξ₂的概率分布為

所以ξ₂的數(shù)學(xué)

(II)解：由，得，

　 整理得，

　 解得。

　　 因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)時(shí)，得取值范圍是。

6.包裝的重量的平均水平一樣,甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定,答案：乙

4.;　 　5.

得,∴ .

3. P(ξ=0)=0.4³，P(ξ=1)=0.6×0.4²，P(ξ=2)=0.6×0.4，P(ξ=3)=0.6，Eξ=2.376;

6.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量ξ₁、ξ₂，已知Eξ₁=Eξ₂，Dξ₁＞Dξ₂，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好.

7.若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則的最大值為　　　　　 .

解：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，并且有P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1－p，從而Eξ=0×(1－p)+1×p=p，Dξ=(0－p)²×(1－p)+(1－p)²×p=p－p².

==2－(2p+)≤2－2

當(dāng)且僅當(dāng)2p=，即p=時(shí)，取得最大值2－2.

◆答案:1-3.DBC;

3.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為

A.2.44　　　　　　　　　　　　 B.3.376　　　　　　　　　　　 C.2.376　　　　　　　　　　　 D.2.4

4. (2006福建)一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是＿＿＿。

5. (2006四川)設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝3，則a+b＝__________　

1.(2005江蘇)在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(　 )

A.9.4, 0.484　　　 B．9.4, 0.016　　　 C．9.5, 0.04　　　 D．9.5, 0.016

2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為ξ，則下列結(jié)論正確的是　 (　 )

A.Eξ=0.001　　　　　　　　　　　　　　　 B.Dξ=0.099

C.P(ξ=k)=0.01^k·0.99^10－k D.P(ξ=k)=C·0.99^k·0.01^10－k