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6．如圖所示，某農(nóng)場在M處有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿MA送肥料較近，而另一側(cè)沿MB送肥料較近？若能，請建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担�求出這條界線的方程.

　[能力提升]

5．設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

例6．(2006年北京宣武區(qū))神舟6號飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回倉預(yù)計到達區(qū)域安排三個救援中心(記為A，B，C)，B在A的正東方向，相距6km，C在B的北偏東30°，相距4km，P為航天員著陸點，某一時刻A接到P的求救信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4s后，B、C兩個救援中心才同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s。

　　　 (I)求A、C兩個救援中心的距離；

　　　 (II)求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

　　　 (III)若信號從P點的正上方Q點處發(fā)出，則A、B收到信號的時間差變大還是變小，說明理由。

［剖析］對于(1)以借助于兩點間的距離公式得到；(2)抓住這一條件可知P在BC線段的垂直平分線上且，由雙曲線的定義，可得P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，從而求出其對應(yīng)的方程；(3)是一個比較大小的問題，一般的處理思路是作差法比較.

［解］解：(I)以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則

　　　 則

　　　 即A、C兩個救援中心的距離為

(II)，所以P在BC線段的垂直平分線上

　　　 又，所以P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，且　　

∴雙曲線方程為

　　　 BC的垂直平分線的方程為　 聯(lián)立兩方程解得：

　　　 　　　 ∴∠PAB＝120°

　　　 所以P點在A點的北偏西30°處.

(III)如圖，設(shè)

　　　 又∵，

　　　 即A、B收到信號的時間差變小，且兩救援中心收到信號的時間少于4秒。

［警示］面對實際問題，首先要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。本題抓住“A聽到該巨響的時間比其它兩測試點晚4s”想到差為定值，結(jié)合雙曲線的定義，將實際問題轉(zhuǎn)化為雙曲線問題，進一步產(chǎn)生雙曲線方程，從而順利完成求解.從本題可以看出：抓住問題的本質(zhì)促使轉(zhuǎn)化是非常重要的一環(huán).

［變式訓(xùn)練］

4．已知雙曲線－=1的離心率，左、右焦點分別為F₁、F₂，左準線為l，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項?

例5．雙曲線的焦距為2c，直線過點(a，0)和(0，b)，且點(1，0)到直線的距離與點(－1，0)到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.

［剖析］本題是求雙曲線的離心率取值范圍問題，根據(jù)題設(shè)中的獨立條件建立關(guān)于的等式或不等式，再利用與進行求解。

［解］直線的方程為，即　

由點到直線的距離公式，且，得到點(1，0)到直線的距離，

同理得到點(－1，0)到直線的距離

由　 即　 　

于是得　

解不等式，得　 　

由于所以的取值范圍是

［警示］求方程的離心率的最值(或范圍)問題，往往需要借僵雙曲線的定義、圖象、范圍和性質(zhì)，正(余)弦函數(shù)的有界性等，結(jié)合的關(guān)系，構(gòu)造出一個關(guān)于離心率的不等式，從而達到求解的目的。

［變式訓(xùn)練］

3.已知雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，且與圓相交于點，若此圓過點P的切線與雙曲線的漸近線平行，求此雙曲線的方程。

例4．已知直線與雙曲線相交于A、B兩點，那么是否存在實數(shù)使得兩點關(guān)于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

［剖析］這是一類非常典型的題目上，“已知曲線：上是否存在相異的兩點，使關(guān)于定直線對稱”這類問題的基本解決思路是：若存在是曲線上相異兩點，它們關(guān)于對稱.設(shè)的中點為，則，即，�、伲�又�、冢�由①②可解得，根據(jù)坐標的范圍，不難得出答案。

［解］設(shè)，若存在這樣的，使兩點關(guān)于直線對稱，則，且的中點滿足.由，兩式相減得：

，，，即，又，即，，從而，這顯然是不可能的，故不存在這樣的直線。

［警示］對于類似的探索性題目，我們一般假設(shè)符合題設(shè)條件的直線存在，從這個假設(shè)出發(fā)，如果能夠推導(dǎo)出的值，則說明這樣的直線是存在的；如果推導(dǎo)不出的值，或者說推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這就說明滿足條件的值不存在。

［變式訓(xùn)練］

2.(2007年上海浦東)已知曲線.

(1)畫出曲線的圖像，

(2)若直線與曲線有兩個公共點，求的取值范圍；

(3)若，為曲線上的點，求的最小值.

例3．已知雙曲線C的中心在原點，焦點在軸上，點與其漸近線的距離為，過點P作斜率為的直線交雙曲線于兩點，交軸于M，且是與的等比中項.

(1)求雙曲線的漸近線方程；

(2)求雙曲線的方程.

［剖析］(1)由點與其漸近線的距離為，借助于點到直線的距離公式可求得其漸近線方程；(2)由漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程，再借助于題條件，不難得到雙曲線方程。

［解］(1)設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，由點到直線的距離公式得，即雙曲線的漸近線方程為；

(2)設(shè)雙曲線方程為，，

則直線的方程為.由得，

當即時，有

由可得，從而或.

故所求的雙曲線方程為或.

［警示］漸近線是雙曲線特有的，如果說雙曲線的方程為，則其漸近線方程可記為.同時，以為漸近線的雙曲線，其方程可設(shè)為；若已知雙曲線的漸近線方程是以ax±by=0的形式給出的，則可設(shè)雙曲線方程為a²x²－b²y²=(≠0).

［變式訓(xùn)練］

1. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：

(1)與雙曲線－=1有共同的漸近線，且過點(－3，2)；

(2)與雙曲線－=1有公共焦點，且過點(3，2).

例2．設(shè)點P到點M(－1，0)、N(1，0)距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍.

［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知點P的軌跡是雙曲線，由點P到x軸、y軸距離之比為2，知點P的軌跡是直線，由交軌法求得點P的坐標，進而可求得m的取值　　 范圍.

［解］設(shè)點P的坐標為(x，y)，依題意得=2，即y=±2x(x≠0)　　 　 ①

因此，點P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三點不共線，得||PM|－|PN||<|MN|=2.

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1.因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上.故設(shè)－=1.　 　　　　　　　 　 ②

將①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0.解得0<|m|<，

即m的取值范圍為(－，0)∪(0，).

［警示］求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素(a、b、c、e及準線)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.

［變式訓(xùn)練］

6．給出問題：F₁、F₂是雙曲線－=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F₁的距離等于9，求點P到焦點F₂的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由||PF₁|－|PF₂||=8，即|9－|PF₂||=8，得|PF₂|=1或17.

該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在題中的橫線上.______________________________________________________.

[典例精析]

例1．設(shè)雙曲線與橢圓有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的縱坐標為4，求雙曲線的方程。

［剖析］由于橢圓的焦點坐標為，且雙曲線與橢圓具有相同的焦點，知雙曲線的焦點也為，從而知所設(shè)雙曲線的形式應(yīng)為，圍繞定義產(chǎn)生的問題，要注意的三個量之間的關(guān)系。本題抓住“交點”在雙曲線上，必須滿足定義，從而應(yīng)用定義求出雙曲線方程中的基本量。

［解］解法一：由橢圓，得其焦點為或，雙曲線的焦點在軸上，設(shè)所求的雙曲線方程為(). 由已知得雙曲線兩焦點分別為，且與橢圓相交其中一個交點的縱坐標為4，設(shè)交點坐標為，從而得，解得，

則

解得，由于，得，因此方程即為所求.

解法二：由題意設(shè)雙曲線方程為，將A()代入求得，故所求雙曲線方程為.

［警示］利用定義法來求解雙曲線的標準方程時，一定要抓住題設(shè)所給出的獨立條件建立之間的等量關(guān)系，再利用運用方程的思想來求解，從而得到的值。但需注意首先應(yīng)判斷焦點的位置，以便于采用哪種形式的方程。

［變式訓(xùn)練］：

5．已知圓C過雙曲線－=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是____________.

4．(2006年陜西卷)已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為 (　　　 )

(A)　　(B)　　(C)　　(D)2

3．過點(2，－2)且與雙曲線－y²=1有公共漸近線的雙曲線方程是(　　 )

(A)－=1　　 　(B)－=1　 (C)－=1　 (D)－=1