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1.光在同一均勻介質(zhì)中是沿直線傳播的

前提條件是在同一均勻介質(zhì)。否則，可能發(fā)生偏折。如光從空氣斜射入水中(不是同一種介質(zhì))；“海市蜃樓”現(xiàn)象(介質(zhì)不均勻)。

試題詳情

2．若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)的圓心角為(　 )

　　　 A．18°　　 B．36°　　 C．72°　　 D．144°

試題詳情

4．(1)AB=5>1+3，外離．

(2)設(shè)B(x，0)x≠-2，則AB=，⊙B半徑為│x+2│，

①設(shè)⊙B與⊙A外切，則=│x+2│+1，

當(dāng)x>-2時(shí)，=x+3，平方化簡(jiǎn)得：x=0符題意，∴B(0，0)，

當(dāng)x<-2時(shí)，=-x-1，化簡(jiǎn)得x=4>-2(舍)，

②設(shè)⊙B與⊙A內(nèi)切，則=│x+2│-1，

當(dāng)x>-2時(shí)，=x+1，得x=4>-2，∴B(4，0)，

當(dāng)x<-2時(shí)，=-x-3，得x=0，

知識(shí)點(diǎn)七、正多邊形和圓

重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．

難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．

正多邊形的中心：所有對(duì)稱軸的交點(diǎn)；

　正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。

正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角。

正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，每個(gè)等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個(gè)全等的直角三角形。

例1．如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長(zhǎng)和面積．

　解題思路：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng)．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．

　　解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑．

　　因此，所求的正六邊形的周長(zhǎng)為6a

　　在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a

　　利用勾股定理，可得邊心距

　　 OM==a

　　 ∴所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a²

例2．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．

　　 (1)求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．

　　 (2)設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？

(3)實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹，問(wèn)：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．

　解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值．(3)的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題．

　　解：(1)由AB·CG=AC·BC得h==4.8

　　 (2)∵h(yuǎn)=且DN=x

　　 ∴NF=

　　則S_{四邊形DEFN}=x·(4.8-x)=-x²+10x

　　 =-(x²-x)

　　 =- [(x-)²-]

　　 =-(x-2.4)²+12

　　 ∵-(x-2.4)²≤0

　　 ∴-(x-2.4)²+12≤12 且當(dāng)x=2.4時(shí)，取等號(hào)

　　 ∴當(dāng)x=2.4時(shí)，S_DEFN最大．

　　 (3)當(dāng)S_DEFN最大時(shí)，x=2.4，此時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

　　 ∴BE==1.8

　　 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案．

　　 ∵當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5

∴AD=3.2，

由圓的對(duì)稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示:

此時(shí)，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹．

練習(xí)1如圖所示，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6cm，求以它的半徑為邊長(zhǎng)的正六邊形ABCDEF的面積．

試題詳情

4．如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，3)，OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上．

　　 (1)若點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，0)，⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關(guān)系；

　　 (2)若⊙B過(guò)M(-2，0)且與⊙A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

答案: 1．B　 2．D　 3．B

試題詳情

2．半徑為2cm和1cm的⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，且O₁A⊥O₂A，則公共弦AB的長(zhǎng)為( )．

　　　 A．cm　　 B．cm　　 C．cm　　 D．cm

　　 3．如圖所示，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動(dòng)圓O₁與AB切于點(diǎn)M，設(shè)⊙O₁的半徑為y，AM=x，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(　 )．

　　 A．y=x²+x　　 B．y=-x²+x

C．y=-x²-x　　 D．y=x²-x

試題詳情

3．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P的任一直線交⊙O于B、C，連結(jié)AB、AC，連PO交⊙O于D、E．

　　 (1)求證：∠PAB=∠C．

(2)如果PA²=PD·PE，那么當(dāng)PA=2，PD=1時(shí)，求⊙O的半徑．

答案： 1．A　 2．B　 3. (1)提示：作直徑AF，連BF，如右圖所示．

　　 (2)由已知PA²=PD·PE，可得⊙O的半徑為．

知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系

．重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用．

　難點(diǎn)：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題．

　　外離：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部

相離：

　　內(nèi)含：兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部

　相切：

外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部

　　內(nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部

相交�。簝蓤A只有兩個(gè)公共點(diǎn)。

設(shè)兩圓的半徑分別為r₁、r₂，圓心距(兩圓圓心的距離)為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r₁和r₂之間的關(guān)系．

　　外離d>r₁+r₂

　　外切d=r₁+r₂

　　相交│r₁-r₂│<d<r₁+r₂

　　內(nèi)切d=│r₁-r₂│

　　內(nèi)含0≤d<│r₁-r₂│(其中d=0，兩圓同心)

例1．兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示(點(diǎn)O，O′是圓心)，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小．

　　　　　　　　　　　　　　 (1)　　　　　　　　　　　　　　(2)

　解題思路：要求∠TPN，其實(shí)就是求∠OPO′的角度，很明顯，∠POO′是正三角形，如圖2所示．

　　解：∵PO=OO′=PO′

　　 ∴△PO′O是一個(gè)等邊三角形

　　 ∴∠OPO′=60°

　　又∵TP與NP分別為兩圓的切線，

　　 ∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°

　　 ∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°

　　例2．如圖1所示，⊙O的半徑為7cm，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=15cm，

求：(1)作⊙A與⊙O外切，并求⊙A的半徑是多少？

　　　　　　　　 (1)　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　 (2)作⊙A與⊙O相內(nèi)切，并求出此時(shí)⊙A的半徑．

　解題思路：(1)作⊙A和⊙O外切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=r_O+r_A；(2)作OA與⊙O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=r_A-r_O．

　　解：如圖2所示，(1)作法：以A為圓心，r_A=15-7=8為半徑作圓，則⊙A的半徑為8cm

(2)作法：以A點(diǎn)為圓心，r_A′=15+7=22為半徑作圓，則⊙A的半徑為22cm

練習(xí)：1．已知兩圓的半徑分別為5cm和7cm，圓心距為8cm，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是(　 )

　　　 A．內(nèi)切　　　 B．相交　　 C．外切　　 D．外離

試題詳情

2．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，弦AB與PO交于C，⊙O半徑為1，PO=2，則PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．

試題詳情

2．設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，O是△ABC的外心，∠A=80°，則∠BIC=________，∠BOC=________．

答案1.A　 2. 130°　 160°

知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離

重點(diǎn)：，直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定

難點(diǎn)：直線和圓三種位置關(guān)系的性質(zhì)及判定。

當(dāng)直線和圓相交時(shí)，d＜r；反過(guò)來(lái)，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交。

當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r；反過(guò)來(lái)，當(dāng)d＝r時(shí)，直線和圓相切。

當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d＞r；反過(guò)來(lái)，當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當(dāng)半徑r多長(zhǎng)時(shí)所作的⊙A與直線BC相切？相交？相離？

解題思路：作AD⊥BC于D

在中，∠B=30°　 ∴

在中，∠C=45°

∴ CD=AD　

∵ BC=6cm　 ∴

∴

∴ 當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相切；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相交；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相離。

例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠DCB=∠A．

　　 (1)CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)若CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．

　解題思路：(1)要說(shuō)明CD是否是⊙O的切線，只要說(shuō)明OC是否垂直于CD，垂足為C，因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上．

　　由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10

　　解：(1)CD與⊙O相切

　　理由：①C點(diǎn)在⊙O上(已知)

　　 ②∵AB是直徑

　　 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

　　 ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

　　 ∴∠OCA=∠DCB

　　 ∴∠OCD=90°

　　綜上：CD是⊙O的切線．

　　 (2)在Rt△OCD中，∠D=30°

　　 ∴∠COD=60°

　　 ∴∠A=30°

　　 ∴∠BCD=30°

　　 ∴BC=BD=10

　　 ∴AB=20，∴r=10

　　答：(1)CD是⊙O的切線，(2)⊙O的半徑是10．

練習(xí)：1.如圖，AB為⊙O直徑，BD切⊙O于B點(diǎn)，弦AC的延長(zhǎng)線與BD交于D點(diǎn)，若AB=10，AC=8，則DC長(zhǎng)為________．

試題詳情

5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。

例1．如圖，通過(guò)防治“非典”，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺(jué)地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24-49所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見(jiàn)，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問(wèn)如果你是工程師，你將如何選址．