1、試題特點(diǎn)
(1) 高考集合與簡易邏輯試題考查情況
2008年的高考在全國19套試卷中，都有體現(xiàn)，重點(diǎn)考查了集合間關(guān)系、集合的運(yùn)算、充分條件與必要條件、四種命題等.
據(jù)此可知，有關(guān)集合與簡易邏輯的試題是高考命題的重要題型，它的解答需要用到集合與簡邏輯的基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)，及一些相關(guān)知識，如不等式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，其命題熱點(diǎn)是伴隨相關(guān)知識的考查，出現(xiàn)頻率較高的題型是有關(guān)不等式的命題。
(2) 主要特點(diǎn)
縱觀近年來高考試題，特別是2008年高考試題，集合與簡易邏輯試題有如下特點(diǎn)：
(1)全方位. 近幾年來的高考題中，集合與簡易邏輯的所有知識點(diǎn)都考過，雖然近幾年不強(qiáng)調(diào)知識的覆蓋率，但每一年集合與簡易邏輯知識點(diǎn)的覆蓋率依然沒有減小.
(2)巧綜合. 為了突出集合與簡易邏輯在中學(xué)中的重要地位，近幾年來高考強(qiáng)化了集合、簡易邏輯與其它知識的聯(lián)系，如集合與不等式、對數(shù)函數(shù)、指函數(shù)等知識的綜合都有出現(xiàn).
(3)變角度. 出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，集合與簡易邏輯試題設(shè)置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視數(shù)學(xué)思想的考查，加大了應(yīng)用題、探索題、開放題和信息題的考查力度，如2008廣東文的第1題，2008江西理科的第2題，從而使集合與簡易邏輯考題顯得新穎、生動、靈活.
7.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
，
，其中
．設(shè)兩曲線
，
有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．用
表示
，并求的最大值；
解析：設(shè)與
在公共點(diǎn)
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，則
．于是當(dāng)
，即
時(shí)，
；當(dāng)
，即
時(shí)，
．故
在
為增函數(shù)，
在
為減函數(shù)，∴在
的最大值為
．
6.
設(shè)函數(shù)
在
及
時(shí)取得極值．
(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)若對于任意的
，都有
成立，求c的取值范圍．
解析：(Ⅰ)
，由
，
．解得
，
．
(Ⅱ)在[0，3]上恒成立即
，
由(Ⅰ)可知，
，
．
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，．
即
在
0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當(dāng)時(shí)，取得極大值
，又
．故當(dāng)
時(shí)，的最大值為．
于是有：
，解得 
或
，因此
的取值范圍為
。
5.已知函數(shù)
在
處有極值10,則
解析： 
，∴
=
①
②
由①②得：
或
當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)無極值，舍去；
當(dāng)時(shí)
，函數(shù)在處左減右增，有極小值；
此時(shí)∴18 。
4.已知函數(shù)
在
處取得極大值，在
處取得極小值，且
．(1)證明；(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。
解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
．
(Ⅰ)由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知
是
的兩個根．所以
；當(dāng)
時(shí)，為增函數(shù)，，由
，
得．
(Ⅱ)在題設(shè)下，等價(jià)于
即
．
化簡得
．此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫?sub>
上三條直線：
所圍成的
的內(nèi)部，由“線性規(guī)劃”的知識容易求得：
的取值范圍為
．
3.f(x)是定義在(0，+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf/(x)+f(x)≤0,對任意正數(shù)a、b,若a＜b，則必有 ( ) (07陜西理11)
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)
C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
解析：xf/(x)+f(x)≤0
[xf(x)]/ ≤0函數(shù)F(x)= xf(x) 在(0，+∞)上為常函數(shù)或遞減，
又0<a＜b且f(x)非負(fù)，于是有：af(a)≥bf(b)≥0 ① 
�、�
①②兩式相乘得：
af(b) ≤bf(a)，故選A。
2.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f/(x)在R上也可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)[f/(x)]/<0，
則y=f(x)的圖象可能是下圖中的 ( )
A．①② B．①③ C．②③
D．③④
C解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上遞減，即函數(shù)y=f(x)的圖象上從左到右各點(diǎn)處的切線斜率遞減，不難看出圖象②③滿足這一要求。
1.已知函數(shù)
若
在
是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍。
解析：
≥0在上恒成立
在上恒成立
而
在上的最小值為16，故
。
5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.
典型例題
例7．(2006年天津卷)函數(shù)
的定義域?yàn)殚_區(qū)間
，導(dǎo)函數(shù)
在
內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)( )
A．1個
B．2個
C．3個
D． 4個
[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.
[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間
內(nèi)的圖象上有一個極小值點(diǎn).
故選A.
例8 .(2007年全國一)設(shè)函數(shù)
在及時(shí)取得極值．
(Ⅰ)求a、b的值；
(Ⅱ)若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．
思路啟迪：利用函數(shù)在及時(shí)取得極值構(gòu)造方程組求a、b的值．
解答過程：(Ⅰ)，
因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，．
即
解得，．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，
．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又
，．
則當(dāng)時(shí)，的最大值為．
因?yàn)閷τ谌我獾?sub>，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范圍為．
例9.函數(shù)
的值域是_____________.
思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。
解答過程：由
得，
，即函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
.
，
又
，
當(dāng)
時(shí)，
，
函數(shù)
在
上是增函數(shù)，而
，
的值域是
.
例10．(2006年天津卷)已知函數(shù)
，其中
為參數(shù)，且
．
(1)當(dāng)時(shí)
，判斷函數(shù)
是否有極值；
(2)要使函數(shù)
的極小值大于零，求參數(shù)
的取值范圍；
(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
[考查目的]本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.
[解答過程](Ⅰ)當(dāng)
時(shí)，
，則在
內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.
(Ⅱ)
，令
，得
.
由(Ⅰ)，只需分下面兩種情況討論.
①當(dāng)
時(shí)，隨x的變化
的符號及的變化情況如下表：
|
x |
 |
0 |
 |
 |
 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
因此，函數(shù)在
處取得極小值
，且
.
要使
，必有
，可得
.
由于
，故
.
②當(dāng)時(shí)
，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：
 |
 |
|
 |
 |
 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
 |
極大值 |
|
極小值 |
|
因此，函數(shù)
處取得極小值
，且
若
，則
.矛盾.所以當(dāng)
時(shí)，的極小值不會大于零.
綜上，要使函數(shù)在
內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為
.
(III)解：由(II)知，函數(shù)在區(qū)間與
內(nèi)都是增函數(shù)。
由題設(shè)，函數(shù)
內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組
或 
由(II)，參數(shù)時(shí)
時(shí)，
.要使不等式
關(guān)于參數(shù)恒成立，必有
，即
.
綜上，解得
或
.
所以的取值范圍是
.
例11．(2006年山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a
-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
[考查目的]本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]由已知得函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
，且
(1)當(dāng)
時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
(2)當(dāng)
時(shí)，由
解得
、
隨的變化情況如下表
|
|
 |
 |
 |
 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
從上表可知
當(dāng)
時(shí)，
函數(shù)在
上單調(diào)遞減.
當(dāng)
時(shí)，
函數(shù)在
上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在
上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在
上單調(diào)遞增.
例12．(2006年北京卷)已知函數(shù)
在點(diǎn)
處取得極大值
，其導(dǎo)函數(shù)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)
，
，如圖所示.求：
(Ⅰ)
的值；
(Ⅱ)
的值.
[考查目的]本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]解法一：(Ⅰ)由圖像可知，在
上
，在
上
，在
上
,
故在
上遞增，在
上遞減，
因此
在
處取得極大值，所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二：(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)設(shè)
又
所以
由
即
得
所以
例13．(2006年湖北卷)設(shè)
是函數(shù)
的一個極值點(diǎn).
(Ⅰ)求
與
的關(guān)系式(用表示
)，并求的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)
，
.若存在
使得
成立，求
的取值范圍.
[考查目的]本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
[解答過程](Ⅰ)f `(x)＝－[x2+(a－2)x+b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32+(a－2)3+b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
則 f `(x)＝[x2+(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2+(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x+a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
當(dāng)a<－4時(shí)，x2>3＝x1，則
在區(qū)間(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；
在區(qū)間(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)；
在區(qū)間(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù).
當(dāng)a>－4時(shí)，x2<3＝x1，則
在區(qū)間(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；
在區(qū)間(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)；
在區(qū)間(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間(0，3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－(2a+3)e3<0，f (4)＝(2a+13)e－1>0，f (3)＝a+6，
那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－(2a+3)e3，a+6].
又
在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，
且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2+
，(a2+)e4]，
由于(a2+)－(a+6)＝a2－a+
＝(
)2≥0，所以只須僅須
(a2+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<
.
故a的取值范圍是(0，
).
例14 (2007年全國二)
已知函數(shù)
在處取得極大值，在處取得極小值，且．
(1)證明；
(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。
[解答過程]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(Ⅰ)由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．
所以
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，由，得．
(Ⅱ)在題設(shè)下，等價(jià)于 即．
化簡得．
此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫?sub>上三條直線：．
所圍成的的內(nèi)部，其三個頂點(diǎn)分別為：
．
在這三點(diǎn)的值依次為
．
所以的取值范圍為．
小結(jié)：本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性
規(guī)劃有機(jī)結(jié)合．
考點(diǎn)4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
建立函數(shù)模型,利用
典型例題
例15. (2007年重慶文)
用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？
[考查目的]本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.
[解答過程]設(shè)長方體的寬為x(m)，則長為2x(m)，高為
.
故長方體的體積為
從而
令V′(x)＝0，解得x=0(舍去)或x=1，因此x=1.
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′(x)＞0；當(dāng)1＜x＜
時(shí)，V′(x)＜0，
故在x=1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值。
從而最大體積V＝V′(x)＝9×12-6×13(m3)，此時(shí)長方體的長為2 m，高為1.5 m.
答：當(dāng)長方體的長為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3。
例16．(2006年福建卷)統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗
油量
(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千米.
(I)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？
(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
[考查目的]本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.
[解答過程](I)當(dāng)
時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了
小時(shí)，
要耗沒
(升).
答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。
(II)當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了
小時(shí)，設(shè)耗油量為
升，依題意得
令
得
當(dāng)
時(shí)，
是減函數(shù)；當(dāng)
時(shí)，
是增函數(shù).
當(dāng)
時(shí)，
取到極小值
因?yàn)?sub>在
上只有一個極值，所以它是最小值.
答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.
考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念
對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.
例1．(2007年北京卷)
是
的導(dǎo)函數(shù)，則
的值是 ．
[考查目的] 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知識和能力.
[解答過程] 
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷)設(shè)函數(shù)
,集合M=
,P=
,若M
P,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.
[解答過程]由
綜上可得MP時(shí), 
考點(diǎn)2 曲線的切線
(1)關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線
求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P(x,y)的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率.
(2)關(guān)于兩曲線的公切線
若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.
典型例題
例3.(2007年湖南文)已知函數(shù)
在區(qū)間
，
內(nèi)各有一個極值點(diǎn)．
(I)求
的最大值；
(II)當(dāng)
時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)
處的切線為
，若在點(diǎn)
處穿過函數(shù)的圖象(即動點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)的表達(dá)式．
思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.
解答過程：(I)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點(diǎn)，所以
在，內(nèi)分別有一個實(shí)根，
設(shè)兩實(shí)根為
(
)，則
，且
．于是
，
，且當(dāng)
，即
，
時(shí)等號成立．故的最大值是16．
(II)解法一：由
知在點(diǎn)
處的切線的方程是
，即
，
因?yàn)榍芯�在點(diǎn)
處空過的圖象，
所以
在兩邊附近的函數(shù)值異號，則
不是
的極值點(diǎn)．
而
，且
．
若
，則和
都是的極值點(diǎn)．
所以
，即，又由，得
，故
．
解法二：同解法一得
．
因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在
(
)．
當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，
；
或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
設(shè)
，則
當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，；
或當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，．
由
知是的一個極值點(diǎn)，則
，
所以，又由，得，故．
例4.(2006年安徽卷)若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則的方程為( )
A．
B．
C．
D．
[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.
[解答過程]與直線
垂直的直線為
，即
在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而
，所以
在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為
.
故選A.
例5． ( 2006年重慶卷)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 -4x+2y+
=0相切的直線的方程為 ( )
A.y=-3x或y=
x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.
[解答過程]解法1：設(shè)切線的方程為
又
故選A.
解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為
由
故選A.
例6.已知兩拋物線
, 取何值時(shí)
，
有且只有一條公切線，求出此時(shí)公切線的方程.
思路啟迪：先對求導(dǎo)數(shù).
解答過程：函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)為
，曲線
在點(diǎn)P(
)處的切線方程為
，即
①
曲線在點(diǎn)Q
的切線方程是
即
②
若直線是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則①式和②式都是的方程，故得
，消去
得方程，
若△=
，即
時(shí)，解得
，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合.
∴當(dāng)時(shí)，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為
.
考點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問題:
1.. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調(diào)性問題; 4.求函數(shù)的極值(最值);
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話：027-86699610 舉報(bào)郵箱：58377363@163.com