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5．(南通四縣市2008屆高三聯(lián)合考試，數(shù)學(xué)，17)如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2．

(1)證明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；

(2)若E是BC₁的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn)，F是A₁C₁上的點(diǎn)， C₁F=mFA₁，試求m的值，使得EF∥D₁P．

[解析]本題考查面面垂直的證明，以及線線垂直的探究

[答案]證明(1)：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2，

故四邊形ABCD是正方形，AP⊥DP，

又∵D₁D⊥面ABCD，AP面ABCD

∴D₁D⊥AP ，D₁D∩DP=D

∴AP⊥面BDD₁B₁　

∵AP面AD₁C

∴面BDB₁D₁⊥面ACD₁　　　　　　　

(2)：記A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)為Q，連BQ，

∵P是AC的中點(diǎn)，∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，則必有EF∥BQ

在△QBC₁中，E是BC₁的中點(diǎn)， F是QC₁上的點(diǎn)，EF∥BQ

∴F是QC₁的中點(diǎn)，即3C₁F=FA₁，故所求m的值是．　　

試題詳情

4．(廣東省中山市2009年四校聯(lián)考數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)理科，5)給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的四個命題：

　　 ①若；

　　 ②若是異面直線，；

　　 ③若；

　　 ④若

　　其中為假命題的是　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．①　　B．②　　 C．③　　　　　　 D．④

[解析]本題考查線線，線面及面面位置關(guān)系的判定

[答案]C

試題詳情

3．(山東省濰坊市2008年5月高三教學(xué)質(zhì)量檢測，數(shù)學(xué)理科，12)如圖，ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結(jié)AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面有(　　 )對

　　 A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　

C．3　　　　　　　 D．4

[解析]本題考查圖形的翻折，和面面垂直的判定，顯然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，

[答案]C

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2．(寧夏區(qū)銀川一中2008屆高三年級第五次月考測試，數(shù)學(xué)理科，12)如圖，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當(dāng)這個幾何體的體積最大時圓的半徑是 (　　 )

　　　 A．　　　 B．　　 C．　　 D．

[解析]本題考查三視圖及椎體的體積計算。設(shè)底面半徑為，高位，又，則，當(dāng)即時，體積最大。

[答案]C

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1．(山東省煙臺市2008年高三適應(yīng)性練習(xí)(三)，數(shù)學(xué)理科，6)已知直線則下列四個命題：

　　 ①;　　　　　　　　　 ②;

　　 ③;　　　　　　　　　 ④　

其中正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．①②　　　　　 B．③④　　　　　 C．②④　　　　　 D．①③

[解析]本題考查線面位置關(guān)系的判斷，②④顯然不正確

[答案]D

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7．(2008年山東卷，數(shù)學(xué)理科，20)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：AE⊥PD;

(Ⅱ)若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值.

[解析]本題考查線線垂直的證明，和二面角的求法，理科生應(yīng)學(xué)會利用空間向量解決問題。

[答案](Ⅰ)證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因?yàn)?sub>為的中點(diǎn)，所以．

又，因此．

因?yàn)?sub>平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

(Ⅱ)解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．

由(Ⅰ)知平面，

則為與平面所成的角．

在中，，

所以當(dāng)最短時，最大，

即當(dāng)時，最大．

此時，

因此．又，所以，所以．

解法一：因?yàn)?sub>平面，平面，所以平面平面．

過作于，則平面，

過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點(diǎn)，在中，，

又，

在中，，即所求二面角的余弦值為．

解法二：由(Ⅰ)知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

，

所以．

設(shè)平面的一法向量為，

則因此取，則，

因?yàn)?sub>，，，所以平面，

故為平面的一法向量．

又，所以．

因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以所求二面角的余弦值為．

試題詳情

6．(2007年寧夏、海南卷，數(shù)學(xué)文科，18)如圖，為空間四點(diǎn)．在中，．

等邊三角形以為軸運(yùn)動．

(Ⅰ)當(dāng)平面平面時，求；

(Ⅱ)當(dāng)轉(zhuǎn)動時，是否總有？

證明你的結(jié)論．

[解析]考查直線和平面與平面和平面的相互關(guān)系

[答案](Ⅰ)取的中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?sub>是等邊三角形，所以．

當(dāng)平面平面時，

因?yàn)槠矫?sub>平面，

所以平面，

可知

由已知可得，在中，．

(Ⅱ)當(dāng)以為軸轉(zhuǎn)動時，總有．

證明：

(ⅰ)當(dāng)在平面內(nèi)時，因?yàn)?sub>，

所以都在線段的垂直平分線上，即．

(ⅱ)當(dāng)不在平面內(nèi)時，由(Ⅰ)知．又因，所以．

又為相交直線，所以平面，由平面，得．

綜上所述，總有．

試題詳情

5．(2008年海南寧夏卷，數(shù)學(xué)文科，18)如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm)。(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連結(jié)，證明：∥面EFG。